Sommes exponentielles, crible, et variétés sur les corps finis

• Auteur / Autrice : Florent Jouve
• Direction : Emmanuel Kowalski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique. Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Bordeaux 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces algébriques

Corps finis

Sommes exponentielles

Résumé

Dans la première partie de cette thèse, on s'attache à donner une interprétation géométrique pour certaines sommes de caractères sur un corps fini. On donne deux exemples dans lesquels on montre que la valeur du moment d'ordre trois de telles sommes est explicitement reliée au nombre de points à coordonnées dans le corps de base d'une surface algébrique définie sur ce corps. Les propriétés géométriques des surfaces obtenues permettent de déduire des formules explicites donnant la valeur des sommes étudiées. La seconde partie traîte d'applications du grand crible dans le cadre proposé récemment par E. Kowalski. La généralité avec laquelle cette méthode est présentée permet l'attaque de problèmes arithmétiques de différentes natures. On s'intéresse notamment à la probabilité avec laquelle une marche aléatoire sur une classe à gauche d'un groupe arithmétique modulo un sous-groupe donné conduit, après un grand nombre de pas, à une matrice vérifiant certaines propriétés typiques. On s'intéresse également au problème plus géométrique de l'irréductibilité en moyenne de la fonction L d'une courbe elliptique sur un corps de fonctions sur un corps fini, lorsque cette courbe varie à l'intérieur d'une certaine famille algébrique.

In the first part of this Thesis, we give a geometric interpretation for a certain type of character sums over finite fields. We work out two examples in which we show that the third moment of such sums is explicitely related to the number of rational points on an algebraic surface over the base field. The geometric properties of the surfaces arising enable us to obtain explicit formulae for the sums studied. The second part deals with applications of large sieve tehniques as recently formulated by E. Kowalski. Thanks to the great generality in which that method is written, we can investigate different kinds of arithmetical problems. As a first application, we are interested in the probability with which a random walk on a left coset of an arithmetic group modulo a fixed subgroup leads, after sufficiently many steps, to a matrix satisfying typical properties. Then we study the more geometric problem of the generic irreducibility of the L function of an elliptic curve over a function field over a finite field when the curve varies among an algebraic family.