Auteur / Autrice : | Stefan Le Coz |
Direction : | Louis Jeanjean |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance en 2007 |
Etablissement(s) : | Besançon |
Partenaire(s) de recherche : | autre partenaire : Université de Franche-comté. UFR des sciences et techniques |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Cette thèse porte sur J'étude des ondes stationnaires d'équations dispersives non linéaires, en particulier l'équation de SchrOdinger, mais aussi celle de Klein-Gordon. Les travaux présentés s'articulent autour de deux questions principales: l'existence et la stabilité orbitale de ces ondes stationnaires. L'existence est étudiée par des méthodes essentielleme~tvariationnelles. En plus de la simple existence, on met en évidence différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, par exemple en tant que points critiques d'une certaine fonctionnelle au niveau du col ouauni~eau de moindre énergie, ou encore en tant que minimiseurs d'une fonctionnelle sur différentes contraintes. Selon la puissance de la non-linéarité et la forme de la dépendance en espace, on démontre que les ondes stationnaires sont stables ou instables. Lorsqu'elles sont instables, on met en évidence que dans certaines situations l'instabilité se manifeste par explœion, tàndis que dans d'autres les solutions sont globalement bien posées. En plus des différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, les preuves des résultats de stabilité et d'instabilité nécessitent de dériver des informations de nature spectrale. En partic\Ùier, dans la première partie de cette thèse, on prouve un résultat de non-dégénérescence du linéarisé pour un problème limite. Dans la deuxième partie, on localise la deuxième valeur propre du linéarisé par ]a combinaison d'une méthode perturbative et d'arguments de continuation.