Théorie des pseudo-mesures : une présentation constructive de l'intégrale de Lebesgue

Pseudo-measure theory : a constructive presentation of the Lebesgue integral

• Auteur / Autrice : Daniel Engel
• Direction : Henri Lombardi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Besançon
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Franche-Comté. UFR des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lebesgue, Intégrale de

Mots clés libres

Algebre de Riesz

Résumé

Contrairement aux présentations traditionnelles de l'intégrale de Lebesgue, qui nécessitent des raisonnements compliqués sur des objets relativement peu explicites (boréliens, ensembles de mesure nulle, etc. . . ), nous proposons une théorie de nature différente, élaborée à partir de concepts plus significatifs et performants. Les objets de base dans notre théorie sont les pseudo-mesures, à savoir les formes linéaires norme��es sur l’espace vectoriel des fonctions étagées (muni de la norme uniforme). Cette présentation inédite permet de définir les concepts fondamentaux avec une absolue clarté, d'aboutir rapidement à des théorèmes substantiels et d'unifier le traitement, traditionnellement séparé, des mesures et des fonctions sommables/mesurables. Nous utilisons pour cadre général les espaces de Riesz, c'est-à-dire les espaces vectoriels ordonnés possédant une valeur absolue (à valeurs dans l'ensemble des éléments positifs de l'espace).

Contrary to the traditional presentations of the Lebesgue integral, that need complicated reasonings about rather awkward objects (null sets, Borel sets, etc. . . ), we propose a theory of a different nature, elaborated out of more meaningful and effective concepts. The basic objects in our theory are the pseudo-measures, viz. The normed linear forms on the vector space of the step functions (with the sup norm). This novel presentation allows us to define the fundamental concepts with absolute clarity, to come rapidly to substantial theorems and to unify the traditionally separated treatment of measures and summable/measurable functions. As a general setting we use the Riesz spaces, which are the ordered vector spaces possessing an absolute value (with values in the set of positive elements of the space).