Optimality conditions and the solution uniqueness in nonsmooth optimization

• Auteur / Autrice : Tuan Nguyen Dinh
• Direction : Phan Quoc Khanh, The Luc Dinh
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Avignon en cotutelle avec Hochiminh City, Vietnam national university

Mots clés

Mots clés contrôlés

Inégalités différentielles

Optimisation mathématique

Résumé

Les résultats présentés dans cette thèse portent sur les conditions d'optimalité en programmation vectorielle et sur l'unicité des solutions des problèmes d'équilibre. Le premier chapitre est relatif aux problèmes d'optimisation vectorielle dont la fonction objectif est univoque non lisse et la contrainte est ensembliste. Les conditions d'optimalité sont obtenues à l'aide des approximations du premier et second ordre (notions introduites par Jourani et Thibault en 1993 et par Allali et Amahroq en 1997). Le cas particulier où la contrainte est donnée sous la forme d'inégalité par un cône convexe est traité dans le chapitre 2. Pour ces problèmes les dérivées directionnelles de Penot (1983) semblent être les plus adaptées à produire des conditions d'efficacité. Les problèmes avec des données multivoques font l'objet principal de notre étude dans le chapitre 3. Nous développons la notion d'ensembles variationnels d'ordre supérieur pour remplacer les dérivées d'ordre supérieur usuelles. Celle-ci nous permet d'établir des conditions d'optimalité nécessaires et suffisantes pour les solutions efficaces, faiblement efficaces et proprement efficaces qui généralisent et unifient plusieurs résultats connus dans ce domaine. De nombreux exemples sont fournis pour illustrer l'avantage de l'approche choisie. Le dernier volet de la thèse est consacré à l'application de concepts de Jacobien approché (ou encore pseudo-Jacobien) de Jeyakumar et Luc (1998) pour étudier l'unicité des solutions des problèmes d'équilibre et des problèmes d'inégalité variationnelle. Les résultats de ce chapitre sont applicables aux problèmes continus, non lisses. Pour certains problèmes localement lipschitziens ils sont plus fins que ceux exprimés en terme du Jacobien généralisé de Clarke

The results of the thesis are concerned with optimality conditions in vector optimization and the uniqueness of solutions of equilibrium problems. The first chapter deals with vector optimization problems whose objective functions are nonsmooth and constraints are given by a general set. The optimality conditions are obtained in terms of approximations of first and second-order (notions introduced by Jourani-Thibault in 1993 and Allali-Amahroq in 1997). The particular case where the constraints are given by inequality with respect to a convex cone is treated in chapter 2. For these problems, the Hadamard directional derivatives of Penot (1983) are quite suitable to establish optimality conditions. Set-valued vector optimization problems are mainly studied in chapter 3. We develop the notion of variational sets of higher-order to replace usual higher-order derivatives. These sets permit us to establish necessary and sufficient optimality conditions for efficient solutions, weakly efficient solutions and properly efficient solutions. The obtained results generalize and unify many known ones in this domain. Examples are given to show advantages of our approaches. The final chapter of the thesis is devoted to the application of notions of approximate Jacobian (or pseudo-Jacobian) by Jeyakumar-Luc (1998) to the study of the uniqueness of solutions of equilibrium problems and variational inequality problems. Our results in this chapter are useful for those continuous problems whose data are nondifferentiable, or even not locally Lipschitz, and for certain problems with locally Lipschitz data, they are sharper than those conditions expressed in terms of Clarke's generalized Jacobians