Bases de polynômes à valeurs entières, en analyse p-adique : Factorielles de Bhargava et principe de l'extension q-adique de Conrad

Bases of integer valued polynomials, in p-adic analysis

• Auteur / Autrice : Sabine Évrard
• Direction : Jean-Luc Chabert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Amiens

Mots clés

Mots clés contrôlés

Factorielles

Anneaux de polynômes

Analyse p-adique

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement aux polynômes à valeurs entières sur une partie E d'un anneau de valuation discrµete V ainsi qu'à des calculs de factorielles généralisées définies par Bhargava. Nous commençons par étudier une catégorie de parties, que nous nommons parties de Legendre, dont les factorielles vérifent une formule analogue à celle de Legendre. Nous démontrons, grâce à l'utilisation des suites v-ordonnées (introduites par Bhargava) et des suites très bien réparties (introduites par Amice), que les seules parties de Legendre d'un anneau de valuation discrète sont les parties précompactes valuées régulières. Nous prolongeons ensuite un travail de Conrad à propos de bases normales de fonctions continues en étendant sa construction pour des fonctions continues sur V au cas des fonctions continues sur une partie E de V. Désignant par qn le nombre de classes de E modulo Mn (où M est l'idéal maximal de V ), nous démontrons que, dans le cas où qn divise qn+1, une condition nécessaire et suffisante pour obtenir des bases normales, extension par développement qn-adique d'une suite de fonctions, est que la partie E soit une partie de Legendre. Dans le cas général, nous caractérisons les parties pour lesquelles la construction est possible. Nous proposons un exemple de base normale de polynômes à valeurs entières obtenue par développement par extension qn-adique. Enfin, nous cherchons à prolonger la notion de factorielles d'une partie E de V d. Après avoir établi des conditions nécessaires de travail, basées sur un article de Mulay, nous généralisons la notion de suite v-ordonnée et construisons une base du V -module des polynômes à valeurs entières en plusieurs variables, associée à une suite v-ordonnée. Nous proposons alors une nouvelle définition de la notion de factorielles et quelques exemples de calculs.

In this thesis, we are interesting in Integer-Valued Polynomials on a subset E of a discrete valuation domain V and we compute generalized factorials as defined by Bhargava. In a the first part, we study what we call Legendre subsets, whose factorial sequence satisfies a similar Legendre formula. We prove, by using v-orderings (introduced by Bhargava) and very well distributed sequences (introduces by Amice), that the precompact regular subsets are the only Legendre subsets. We then extend a Conrad's work about normal bases of continuous functions by replacing his construction for continuous functions on V by continuous functions on a subset E of V. Denoting by qn the number of classes of E modulo Mn (where M is the maximal ideal of V ), we prove that when qn divides qn+1, a necessary and sufficient condition to obtain normal bases by qn-digit expansion is that the subset E is a Legendre subset. In the general case, we characterize all the subsets E of V such that the qn-digit principle works. We give an example of normal bases of integer-valued polynomials, obtained by qn-digit expansion. Finally, we extend the notion of factorial of a subset E of V d. First, we give necessary conditions for this work, based on a Mulay's article. Second, we generalize the notion of v-ordering and construct a basis of the V -module of integer-valued polynomials in several indeterminates, linked with the v-ordering. Finally, we give a new definition for the notion of factorial and we give examples.