Sémantiques de la logique linéaire et temps de calcul

Semantics of linear logic and computation time

• Auteur / Autrice : Daniel de Carvalho
• Direction : Thomas Ehrhard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques discrètes et fondements de l'informatique
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Physique et Sciences de la Matière (Marseille)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Logique mathématique

Fonctions exponentielles

Lambda-calcul

Programmation linéaire

Résumé

Des exponentielles hétérodoxes avec un travail sur une variante du lambda-calcul proposée par Terui (le lambda-calcul “light”) qui permet de représenter toutes les fonctions calculables en temps polynomial, et seulement elles. Ce calcul s’inspire du système LLL de Girard et contrôle le temps de calcul en décomposant la beta-réduction en étapes correspondant à des étapes de réduction de logique linéaire, au moyen d’un mécanisme de pattern-matching. Nous développons pour ce langage un système de types avec intersection garantissant l’absence de deadlocks durant la réduction. Nous intéressant toujours aux types avec intersection, nous avons travaillé ensuite sur le lambdacalcul usuel, cherchant à établir des liens plus généraux entre temps de calcul et types. Dans ce but, nous avons considéré un système de types avec intersections non idempotentes, basé sur le modèle relationnel multiensembliste du lambda-calcul. Ce système est essentiellement identique à un système de types introduit en 1980 par Coppo, Dezani et Venneri, que nous situons ainsi dans son environnement naturel : une catégorie de co-Kleisli au-dessus de la catégorie des ensembles et des relations. Nous avons établi un lien étroit entre la taille des dérivations de types des termes dans ce système et leur temps d’exécution dans la machine de Krivine, un modèle d’évaluation des lambda-termes proche des machines à environnement utilisées en pratique pour l’évaluation des langages de programmation fonctionnels. Notre résultat peut être vu comme un raffinement quantitatif du théorème bien connu qui énonce qu’un lambda-terme est normalisable si et seulement si il est typable dans les types avec intersection. Enfin, nous étudions la sémantique de la logique linéaire différentielle, un formalisme que Ehrhard a introduit il y a quelques années avec Régnier et dont il a récemment montré avec Laurent qu’il fournit un nouveau modèle du calcul concurrent et mobile. Nous avons considéré des modèles du fragment finitaire de cette logique (sans promotion) et montré comment on pouvait définir la promotion en utilisant une version catégorique de la formule de Taylor. Nous avons obtenu ainsi des semi-foncteurs pour interpréter les exponentielles de la logique linéaire et en avons étudié les propriétés, en fonction des propriétés algébriques (commutativité et cocommutativité) de l’interprétation finitaire sous-jacente. Nous avons obtenu de cette façon de nouveaux modèles, où les exponentielles (orthodoxes) ont des interprétations non standard, ainsi que des interprétations non invariantes par réduction, qui ont sûrement un grand intérêt pour l’étude de l’élimination des coupures.