Sommes d'opérateurs monotones et sous-différentiels de fonctions quasiconvexes

Sums of montone operators and subdifferentials of quasiconvex functions

• Auteur / Autrice : Yboon Garcìa Ramos
• Direction : Marc Lassonde, Wilfredo Sosa-Sandoval]
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Antilles-Guyane en cotutelle avec Universidad nacional de Ingeniería (Lima, Pérou)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Programmation convexe

Analyse mathématique

Résumé

Cette thèse est une contribution à la théorie des opérateurs monotones. Elle comporte deux parties:la première concernent les sommes généralisées d'opérateurs monotones et la seconde les ous-différentiels de fonctions quasiconvexes. Dans la première partie, après une présentation d'outils d'analyse convexe et fonctionnelle, on commence par étudier les concepts de somme étendue d'opérateurs monotones et de composition étendue d'un opérateur monotone par un opérateur linéaire continu. Dans un premier temps, on établit de nouvelles propriétés de la somme étendue, comme le fait que la somme d'opérateurs maximaux monotones soit monotone. Ensuite, on établi une relation entre ces notions étendues de somme et de composition, ce qui permet de déduire les propriétés d'un des deux concepts à partir des propriétés de l'autre. Par la suite on fait une étude comparative de la somme variationnelle et la somme étendue, et une étude similaire des compositions étendue et variationnelle. Dans la deuxième partie, on étudie les sous-différentiels de Clarke-Rockafellar des fonctions (semi-)strictes quasiconvexes, dans le cas ou elles sont continues. On introduit la notion d'opérateur variationnellement (semi-)stricte quasimonotone et l'on montre qu'elle caractérise les sous-différentiels des fonctions(emi-)strictes quasiconvexes continues. Enfin, on montre que l'inégalité variationnelle de Minty a des solutions moins vides sur chaque ensemble non vide,convexe et faiblement compact, pourvu que l'opérateur associé à ce problème soit variatonnellement (semi-)stricte quasimonotone

This thesis concerns two topics,generalized sums of maximal monotone operators and sub-differential of quasiconvex functions. The first part is devoted to the study of extended notions for sums of monotone operators and for precompositions of monotone operators with continuous linear mappings. We establish some new properties related to the notion of extented sum, among them the monotonicity of this sum provided the operators involved are maximal monotone. Then, it is shown that the equivalence which exists between usual sums and compositions remains valid also for the extended operations. This allows to obtain some known and new results for extended compositions via the corresponding properties of extended sums. In the second part, we study Clarke-Rockkafellar subdifferentials of (semi-)strictly quasiconvex functions, in the case where they are continuous. We introduce the notion of variational (semi-)strictly quasimonotociny for a multi-valued operator and we use this notion to characterize the subdifferentials of continuous(semi-)strictly quasiconvex functions. This relationship shows in particular that the Minty variational inequality has nonempty solutions on every nomempty convex and weakly compact set. Provided the associated operator to this problem is variational semistrict quasimonotone.