Continuous time ''Population Monte Carlo'' and computational physics

• Auteur / Autrice : Mathias Rousset
• Direction : Pierre Del Moral, Laurent Miclo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées. Probabilités
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Feynman, Intégrales de

Équations d'évolution

Équations différentielles

Schrödinger, Opérateur de

Monte-Carlo, Méthode de

Probabilités

Physique mathématique

Mots clés libres

Population Monte-Carlo

Interprétation particulaire d'EDPs

Formule de Feynman-Kac

Dynamique moléculaire

Contraintes

Etat propre de Scrödinger

Energie libre

Particle (Population Monte-Carlo) methods

Particle methods for PDEs

Schrödinger operators

Computational Physics

Molecular dynamics

Free energy computation

Multi-scale dynamical systems

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux méthodes numériques probabilistes dites de Population Monte-Carlo, du point de vue du temps continu. Ces méthodes PMC se ramènent au calcul séquentiel de moyennes pondérées de trajectoires Markoviennes. Nous démontrons la convergence (vers la fonction propre principale des opérateurs de Schrödinger) en temps long de la variance et du biais de cette méthode avec la bonne vitesse en 1/N. Ensuite, nous considérons le problème de l'échantillonnage séquentiel d'un flot continu de mesures de Boltzmann. Pour cela, à partir d'une dynamique Markovienne arbitraire, nous associons une dynamique renversée dans le temps dont la loi pondérée par une moyenne trajectorielle de Feynman-Kac explicitement calculable redonne la dynamique initiale ainsi que la mesure de Boltzmann à calculer. Enfin, nous généralisons ce problème au cas où la dynamique est due à l'évolution dans le temps de contraintes rigides sur les configurations possibles du processus. Nous calculons exactement les poids associés, qui font intervenir la courbure locale des sous-variétés générées par les contraintes. .

In this dissertation, we focus on stochastic numerical methods of Population Monte-Carlo type, in the continuous time setting. These PMC methods resort to the sequential computation of averages of weighted Markovian paths. The practical implementation rely then on the time evolution of the empirical distribution of a system of N interacting walkers. We prove the long time convergence (towards Schrödinger groundstates) of the variance and bias of this method with the expected 1/N rate. Next, we consider the problem of sequential sampling of a continuous flow of Boltzmann measures. For this purpose, starting with any Markovian dynamics, we associate a second dynamics in reversed time whose law (weighted by a computable Feynman-Kac path average) gives out the original dynamics as well as the target Boltzmann measure. Finally, we generalize the latter problem to the case where the dynamics is caused by evolving rigid constraints on the positions of the process. We compute exactly the associated weights, which resorts to the local curvature of the manifold defined by the constraints.