Contrôle et stabilisation des équations de Saint-Venant

Control and stabilization of the Saint-Venant equations

• Auteur / Autrice : Hassen Arfaoui
• Direction : Jean-Pierre Raymond, Henda El Feki, Faker Ben Belgacem
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Traitement réparti

Perturbation (mathématiques)

Commande, Théorie de la

Mots clés libres

Contrôle optimal

Stabilisation

Equations de Saint-Venant

Loi de feedback

Equation de Riccati

Schéma de Preissmann

Résumé

Dans cette thèse nous étudions des problèmes de contrôle et de stabilisation pour le système des équations de Saint-Venant avec viscosité, modélisant un écoulement dans un canal. Le contrôle de type Dirichlet modélise l'action de batteurs aux extrémités du canal. Nous étudions le système de Saint-Venant linéarisé au voisinage de certaines solutions stationaires. Nous montrons que ce système linéarisé est exponentiellement stable mais n'est pas contrôlable à zéro. Nous cherchons une loi de contrôle sous la forme d'un feedback capable de stabiliser avec un taux de décroissance maximal le système linéarisé perturbé. Ce taux de décroissance maximal est obtenu par la méthode d'extension de Fursikov. De manière à obtenir un système d'optimalité bien posé (défini soit à l'aide d'une équation de Riccati algébrique, soit à l'aide d'un système Hamiltonien), nous introduisons une méthode d'état étendu qui n'est pas standard. Ces résultats théoriques sur le système linéarisé sont illustrés par plusieurs tests numériques sur le système linéarisé et le système de Saint-Venant non linéaire. Pour les simulations numériques du système de Saint-Venant nous utilisons une méthode de splitting : un schéma aux différences finies de Preissmann pour l'étape de transport et un schéma d'Euler implicite pour la partie diffusive. L'équation de Riccati matricielle discrète est définie à l'aide de ce système. Les tests effectués mettent en lumière l'efficacité des lois de contrôle que nous avons déterminées, même dans le cas de fortes perturbations.

In this thesis, we study some problems of control and stabilization for the Saint-Venant system with viscosity, modeling a flow in a channel. The Dirichlet boundary control models the action of beaters at the boundary of the channel. We study the linearized Saint-Venant system about a stationary solution. We show that this linearized system is exponentially stable but is not null controlable. We look for a control law in a feedback form that is able to stabilize the perturbed linearized system with a maximum decrease rate. This maximum decrease rate is obtained by the extension method of Fursikov. To obtain a well-posed optimality system (defined either by using an algebraic Riccati equation, or by using a Hamiltonian system), we introduce an augmented state method which is not standard. These theoretical results on the linearized system are illustrated by several numerical tests on the linearized system and the nonlinear Saint-Venant system. For the numerical simulations of the Saint-Venant system, we use a splitting method: a Preissmann scheme for the transport part and an implicit Euler scheme for the diffusive part. The discrete matrix Riccati equation is defined using this system. The different numerical tests show the effectiveness of the feedback law applied to nonlinear system, even in the case of strong perturbations.