Étude statistique de séquences biologiques et convergence de martingales

Statistical investigation of biological sequences and convergence of martingales

• Auteur / Autrice : Peggy Cénac
• Direction : Guy Fayolle, Bernard Bercu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Khi-carré, Test du

Convergence (mathématiques)

Martingales (mathématiques)

Modèles statistiques

Génomique

Mots clés libres

Système de fonction itérée

Test du chi-deux

Signature génomique

Arbre aléatoire

Arbre digital de recherche

Profondeur d'insertion

Martingales

Lois fortes

Iterated function system

Chi-squared test

Genomic signature

Random tree

Digital search tree

Insertion depth

Martingales

Strong laws

Résumé

Le système dynamique Chaos Game Representation associe à une suite de lettres dans un alphabet fini, une mesure empirique sur un ensemble. Fournit-elle plus d'information que les méthodes de comptage de mots classiques ? A partir d'une caractérisation basée sur la CGR, on propose une nouvelle famille de tests donnant l'ordre d'une chaîne de Markov homogène. On définit ensuite une construction d'arbres digitaux de recherche, inspirés par la CGR, en insérant successivement les préfixes retournés d'une chaîne de Markov. On montre que les longueurs des branches critiques se comportent, au premier ordre, comme si les séquences insérées étaient indépendantes entre elles. La dernière partie est consacrée à l'étude de la convergence presque sûre des moments normalisés de tout ordre de martingales vectorielles dans le théorème de la limite centrale presque sûr. Les résultats sont appliqués aux erreurs d'estimation et de prédiction dans les régressions linéaires et les processus de branchement.

The Chaos Game Representation is a dynamical system which maps a sequence of letters taken from a finite alphabet onto an empirical measure on a set. We show how the CGR can be used to characterize the order of an homogeneous Markov chain and to define a new family of tests. Then we propose a construction of Digital Search Trees, inspired from the CGR, by successively inserting all the returned prefixes of a Markov chain. We give the asymptotic behavior of the critical lengths of paths, which turns out to be, at first order, the same one as in the case of DST built from independent Markov chains. A last part deals with properties of almost sure convergence of vectorial martingales. Under suitable regularity conditions on the growing process, we establish the convergence of normalized moments of all orders in the almost sure central limit theorem. The results are applied to the cumulated errors of estimation and prediction in linear regression models and branching processes.