Variations quadratiques généralisées pour des processus gaussiens : théorèmes limites et applications aux processus fractionnaires

Generalized quadratic variations of gaussian processes : limits theorems and applications to fractional processes

• Auteur / Autrice : Arnaud Bégyn
• Direction : Serge Cohen, Olivier Perrin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Probabilités
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien

Estimation, Théorie de l'

Convergence (mathématiques)

Processus gaussiens

Mots clés libres

Mouvement brownien fractionnaire

Convergence presque sûre

Convergence faible

Variation quadratique

Processus gaussien

Résumé

Si X est un processus fractionnaire, il existe un paramètre H(X) pouvant être vectoriel, ou même fonctionnel. Il est relié aux propriétés d'autosimilarité et de régularité des trajectoires du processus. C'est donc un paramètre très pertinent à prendre en compte dans une étude statistique. Le but de notre thèse est de donner des conditions sur un processus gaussien X, qui sont vérifiées dans le cas des processus fractionnaires, et qui permettent de trouver une normalisation rendant sa variation quadratique du second ordre presque sûrement convergente et asymptotiquement normale. Comme dans le cas du mouvement brownien fractionnaire, notre étude permet de construire une ''bonne'' estimation de certains paramètres des processus fractionnaires considérés. Pour cela nous considérerons la statistique usuelle associée à la variation quadratique du second ordre.

If X is a fractional process, there exists a parameter H(X), which may be a vector or a function. This parameter is related to the properties of self-similarity of X and to the regularity of its trajectories. Therefore it is a relevant quantity which must be taken into account in a statistical study. The purpose of our PhD thesis is to yield conditions on a Gaussian processes X, which are satisfied in the case of fractional processes, and which enable to find a normalization returning its second order quadratic variation almost surely convergent and asymptotically normal. As in the case of the fractional Brownian motion, our work enables to construct a “good” estimation of some parameters of the considered fractional processes. For that we consider the usual statistic associated to the second order quadratic variation.