Développement d'algorithmes de génération de contraintes et extensions

Development of constraint generation algorithms and extensions

• Auteur / Autrice : José Neto
• Direction : Walid Ben Ameur
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Evry, Institut national des télécommunications

Mots clés

Mots clés contrôlés

Relaxation, Méthodes de (mathématiques)

Optimisation mathématique

Programmation (mathématiques)

Résumé

Apparus dans les années 50, les algorithmes de génération de contraintes sont aujourd'hui couramment mis en oeuvre dans le cadre de la résolution de problèmes difficiles via la programmation linéaire. Leur principe de base consiste, de manière itérative, à résoudre une relaxation linéaire du problème original, à rechercher une contrainte linéaire valide pour une formulation du problème original et violée par la solution trouvée pour la relaxation courante, puis le cas échéant à ajouter une telle contrainte (voire plusieurs) dans la relaxation courante. Ce processus est réeitéré jusqu'à ce qu'aucune contrainte violée ne soit trouvée pour la solution de la relaxation courante, celle-ci constituant alors une solution optimale du problème original. Nous proposons une modification de ce schéma de résolution au niveau du point de séparation utilisée en vue d’une amélioration des performances, ceci à travers deux approches. Tout d'abord, avec celle intitulée In/Out, il s'agit de définir le point de séparation comme combinaison convexe d’une solution optimale de la relaxation courante et d'une solution réalisable. Des expérimentations numériques sur différents types de problèmes : programmes linéaires générés aléatoirement, dimensionnement de réseaux fiables et problèmes de multiflots, mettent en évidence une nette amélioration potentielle des performances avec de telles procédures. Une autre approche consiste à utiliser plusieurs points dans la phase de séparation. Nous étudions la complexité de ce type de séparation, qui généralise les procédures classiques, de même que celle de problèmes connexes. Notamment, nous établissons l’équivalence polynomiale entre une séparation monopoint classique et la séparation multipoint proposée. Des évaluations préliminaires relatives à cette forme de séparation illustrent intérêts et limites de cette approche. Les deux méthodes introduites : In/Out et multipoint se distinguent des procédures classiques de génération de contraintes essentiellement au niveau des points de séparation utilisés. Une autre façon d'améliorer les méthodes classiques pourrait consister à modifier l’oracle de séparation de manière à favoriser la génération de contraintes particulières. Dans cette thèse nous donnons une caractérisation générale de relaxations ayant même ensemble de solutions optimales que le problème original, conduisant par là même à une évaluation de l’importance des contraintes au sein d’une formulation pour l’obtention d’une solution optimale. Finalement nous rapportons des investigations portées sur le problème de coupe maximum dans un graphe, ceci à deux niveaux. Tout d'abord nous établissons la polynomialité du problèeme de séparation sur des généralisations des familles d’inégalités suspended-tree et path-block-cycle pour certaines valeurs de paramètres fixées. Ensuite nous introduisons et évaluons une procédure originale d’arrondis sur une formulation particulière du problème.

Since they first appeared in the 50's, contraint generation algorithms are now commonly used when solving hard problems through a linear programming approach. In these algorithms, a relaxation of the formulation containing only a subset of the constraints is first solved. Then a separation procedure is called which adds to the relaxation any inequality of the formulation that is violated by the current solution. The process is iterated until no violated inequality can be found. We propose a modification of this resolution scheme at the level of the separation point used in order to improve performance. More precisely, we introduce two approaches. The first one, entitled In/Out, consists in defining the separation point as a convex combination of an optimal solution for the current relaxation, and of a feasible solution. Numerical experiments have been carried out on different problem types : randomly generated linear programs, survivability network design and multicommodity min-cost flow problems, namely. They show evidence of a potential strong improvement of performances with this kind of procedures. Another developed approach consists in using several points in the separation phase. We study the complexity of this kind of separation generalizing classical procedures, and of some other related problems. Namely we establish polynomial equivalence between a classical single-point separation and the multiple-points separation proposed. Preliminary computational experiments for this kind of separation illustrate efficiency of this approach. Both introduced methods : In/Out and multiple-points essentially differ from classical constraint generation procedures at the level of the point being used for separation. Another way to improve traditional schemes would consist in modifying the separation oracle so as to favour the generation of some particular inequalities. In this thesis we give a general characterization of relaxations with the same set of optimal solution as the one for the original problem, thus leading to an evaluation of the “relevance” of constraints present in the formulation used to get an optimal solution. Finally we report investigations on the maximum cut problem, at two levels. First we establish polynomiality of the separation problem for generalizations of two families of inequalities for some fixed parameter values : the so-called suspended-tree and path-block-cycle inequalities. Then, we introduce and evaluate an original rouding procedure applied to a particular formulation of the problem through a divide-and-conquer approach.