(Co)homologie de Poisson et singularités isolées en petites dimensions, avec une application en théorie des déformations

Poisson (co)homalogy and isolated singularities in low dimensions, with an application in the theory of deformations

• Auteur / Autrice : Anne Pichereau
• Direction : Pol Vanhaecke
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Poitiers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur et aéronautique (Poitiers1992-2008)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Poitiers. UFR des sciences fondamentales et appliquées

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations algébriques

Singularités (mathématiques)

Groupes cohomologiques

Poisson, Algèbres de

Résumé

Ce travail a pour premier but de calculer la cohomologie et l'homologie de Poisson, en petites dimensions, pour deux types de variétés affines de Poisson : des variétés lisses, munies de structures de Poisson admettant un lieu singulier, et des variétés singulières, équipées de structures de Poisson les plus lisses possible. Nous considérons l'espace affine de dimension trois F^3 (F, corps de caractéristique zéro) ainsi qu'une famille de surfaces singulières dans F^3. A tout polynôme de F[x,y,z], (quasi-)homogène, on associe en effet naturellement une structure de Poisson P sur F^3, ainsi qu'une surface singulière dans F^3, sur laquelle P induit aussi une structure de Poisson. Le lieu singulier de P et la singularité de la surface coïncident alors et la structure induite par P sur la surface est symplectique partout, sauf sur cette singularité. Dans ce contexte, nous calculons la (co)homologie de Poisson des variétés de Poisson obtenues. Ceci nous permet ensuite de déterminer complètement les déformations formelles de ces crochets de Poisson. Nous observons que la singularité citée plus haut intervient dans ces espaces de (co)homologie ainsi que dans les déformations. Les méthodes mises en oeuvre nous permettent également, dans nos cas, d'obtenir des écritures explicites pour des espaces d'homologie à paramètre, définis par O. Mathieu. Enfin, nous commençons l'étude de la cohomologie de Poisson pour un prolongement des cas singuliers donnés plus haut et nous donnons quelques premiers résultats, concernant un exemple.

The main purpose of this work is to compute Poisson cohomology and homology, in low dimensions, for two types of affine Poisson varieties: smooth varieties, equipped with Poisson structures that admit a singular locus, and singular varieties, equipped with Poisson structures, as regular as possible. We consider the affine space of dimension three F^3 (F: field of characteristic zero) and a family of singular surfaces in F^3. To each (weight) homogeneous polynomial in F[x,y,z], one associates indeed naturally a Poisson structure P on F^3 and a singular surface in F^3, on which P induces also a Poisson structure. The singular locus of P and the singularity of the surface then coincide and the Poisson structure, induced by P on the surface, is symplectic everywhere, except on the singularity. In this context, we compute the Poisson (co)homology of the obtained Poisson varieties. This result permits us to determine completly the formal deformations of these Poisson brackets. We then observe that the above singularity intervenes in the (co)homology spaces and in the deformations. The methods used permits also us to obtain, in our cases, explicit basis of the spaces associated to a homology with parameter, defined by O. Mathieu. Finally, we begin the study of the Poisson cohomology for a generalization of the singular cases given above and we give some first results, for one example.