Problèmes d'existence en temps grand pour des équations de Kein-Gordon non-linéaires

Long time existence problems for semilinear Klein-Gordon equations

• Auteur / Autrice : Alin Laurentiu Benoaga
• Direction : Jean-Marc Delort
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sobolev, Espaces de

Équations différentielles

Équations différentielles non linéaires

Résumé

Ce travail est consacré à des problèmes d’existence presque globale pour des équations de Klein-Gordon semi-linéaires à données petites faiblement décroissante. Le problème des données très décroissantes à l’infini est désormais bien compris. Lorsque la décroissance de données à l’infini est du type L2 ou Sobolev, beaucoup moins de résultats sont disponibles. Notre travail aborde le cas des non-linéarités sans propriétés particulières de structure, en dimension d≥4. L’essentiel du travail est de construire des espaces 2-microlocaux dans lesquels les non-linéarités vérifient les estimations nécessaires à la preuve d’une propriété de contraction. Nous obtenons par la méthode de la phase stationnaire des versions raffinées d’inégalités de type Strichartz pour l’opérateur de Klein-Gordon semi-classique. En faisant un usage subtil de ces inégalités, nous obtenons des théorèmes de produit d’où découlent les estimations non-linéaires permettant l’obtention de solutions presque globales.