Algorithmes de différentiation numérique pour l'estimation de systèmes non linéaires

par Mohamed Braci

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Sette Diop.


  • Résumé

    La principale motivation de ce mémoire de thèse est l'étude d'algorithmes de différentiation numérique qui sont à la fois simples et efficaces pour des signaux connus seulement à travers leurs échantillons et qui sont entachés de bruit de mesure. De tels algorithmes sont en effet les briques élémentaires d'une structure d'observateur combinant des conditions d'observabilité issues de l'approche algébrique et une synthèse du type Kalman incorporant un signal d'erreur (entre la mesure et sa prédiction) ainsi qu'une partie prédiction permettant de combler le retard créé éventuellement par les opérateurs de différentiation numériques. La nécessité pour les différentiateurs recherchés d'être simples (en temps de calculs) vient de ce qu'ils peuvent être invoqués plusieurs fois dans un seul observateurs. Après avoir proposé une légère modification de la structure de l'observateur précédemment mentionné, nous avons passé en revue les différents algorithmes de différentiation candidats. Comme on le sait la différentiation numérique est un opérateur inverse mal posé. Comme tous les opérateurs de ce type, son implantation pratique ne peut se faire qu'à travers une régularisation. Un schéma de différentiation numérique est précisément un opérateur qui régularise la différentiation. Le premier d'entre eux que nous avons examiné est le très populaire filtre linéaire obtenu par approximation de la transformée de Laplace de l'opérateur de différentiation par une fonction de transfert propre, souvent du premier ordre. Nous avons montré qu'on ne peut pas se contenter de dire que la fréquence de coupure de ce filtre, qui passe pour le paramètre de régularisation, doit être choisie petite. Nous avons obtenu des valeurs optimales pour cette fréquence de coupure qui représentent un compromis entre la nécessité de filtrage du bruit par de petites valeurs et celle d'approximer précisément l'opérateur de différentiation par de grandes valeurs de la fréquence de coupure. Il existe également une méthode de différentiation numérique tout aussi populaire, c'est les différences finies. Ici aussi nous avons montré comment cette méthode peut être régularisée en un schéma de différentiation numérique grâce à un calcul de la période d'échantillonnage optimale. Le schéma de différentiation dite de Savitzky-Golay, également très utilisés dans les sciences expérimentales a été revisité pour montrer comment le régulariser. Les résultats sont appliqués à 2 exemples académiques : l'estimation du substrat d'un réacteur biologique et la vitesse latérale d'une automobile.

  • Titre traduit

    Numerical differentiation algorithms for nonlinear systems estimation


  • Résumé

    The main motivation of this PhD dissertation is the study of numerical differentiation algorithms which are simple and efficient for signals which are available only through their samples and which are corrupted by noise. Such algorithms are building blacks of some observer structure which combining observability conditions derived from the differential algebraic approach of observability and a synthesis like Kalman observer which incorporates a measurement error (between the !rue measurement and predicted one) in a loop and a prediction device which allows to compensate for the delay created by the differentiation operators. The necessity for these algorithms to be simple (in terms of computation burden) results from the fact that they may be invoked many times in a single observer. Alter having proposed a slight improvement of the observer structure previously mentioned we have preceded to the review of simple differentiation algorithms which are candidates. As is known numerical differentiation is an ill-posed inverse problem. As all operators of this type, its practical implementation necessarily goes through regularization. A numerical differentiation scheme is precisely an operator which regularizes the differentiation. The first one we have examined is the very popular linear filter consisting of an approximate of the Laplace transform of the differentiation operator by a proper transfer function, often of first order. We have shown that we cannot content ourselves in saying that the filter bandwidth, which is the regularization parameter, should be kept small. We have obtained optimal values of the filter bandwidth as a compromise of the necessity of narrow filter bandwidth in order to efficiently filter out the noise and large filler bandwidth in order to precisely reproduce the differentiation operator. There is also a method of numerical differentiation which popular as well, it is the finite differences method. Here, loo, we have shown how to choose the sampling period in an optimal way. The so-called Savitzky-Golay differentiation scheme, very much used in experimental sciences, is also revisited: we have shown how it can be regularized. The results are applied to 2 academic examples: the estimation of the substrate in a bioreactor, and the estimation of the lateral speed of a car.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (viii-78 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. [75]-78

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  • Bibliothèque : Université Paris-Saclay. DIBISO. BU Orsay.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2006)359

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  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : 2006PA112359
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