Thèse soutenue

Algorithmes de différentiation numérique pour l'estimation de systèmes non linéaires
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Auteur / Autrice : Mohamed Braci
Direction : Sette Diop
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Physique
Date : Soutenance en 2006
Etablissement(s) : Paris 11
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Sciences et Technologies de l'Information, des Télécommunications et des Systèmes (Orsay, Essonne2000-2015)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire des signaux et systèmes (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 1974-....)
autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
Jury : Président / Présidente : Dorothée Normand-Cyrot
Examinateurs / Examinatrices : Sette Diop, Dorothée Normand-Cyrot, Jean-Pierre Barbot, Alain Glumineau, François Chaplais, Hassan Hammouri
Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Pierre Barbot, Alain Glumineau

Résumé

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La principale motivation de ce mémoire de thèse est l'étude d'algorithmes de différentiation numérique qui sont à la fois simples et efficaces pour des signaux connus seulement à travers leurs échantillons et qui sont entachés de bruit de mesure. De tels algorithmes sont en effet les briques élémentaires d'une structure d'observateur combinant des conditions d'observabilité issues de l'approche algébrique et une synthèse du type Kalman incorporant un signal d'erreur (entre la mesure et sa prédiction) ainsi qu'une partie prédiction permettant de combler le retard créé éventuellement par les opérateurs de différentiation numériques. La nécessité pour les différentiateurs recherchés d'être simples (en temps de calculs) vient de ce qu'ils peuvent être invoqués plusieurs fois dans un seul observateurs. Après avoir proposé une légère modification de la structure de l'observateur précédemment mentionné, nous avons passé en revue les différents algorithmes de différentiation candidats. Comme on le sait la différentiation numérique est un opérateur inverse mal posé. Comme tous les opérateurs de ce type, son implantation pratique ne peut se faire qu'à travers une régularisation. Un schéma de différentiation numérique est précisément un opérateur qui régularise la différentiation. Le premier d'entre eux que nous avons examiné est le très populaire filtre linéaire obtenu par approximation de la transformée de Laplace de l'opérateur de différentiation par une fonction de transfert propre, souvent du premier ordre. Nous avons montré qu'on ne peut pas se contenter de dire que la fréquence de coupure de ce filtre, qui passe pour le paramètre de régularisation, doit être choisie petite. Nous avons obtenu des valeurs optimales pour cette fréquence de coupure qui représentent un compromis entre la nécessité de filtrage du bruit par de petites valeurs et celle d'approximer précisément l'opérateur de différentiation par de grandes valeurs de la fréquence de coupure. Il existe également une méthode de différentiation numérique tout aussi populaire, c'est les différences finies. Ici aussi nous avons montré comment cette méthode peut être régularisée en un schéma de différentiation numérique grâce à un calcul de la période d'échantillonnage optimale. Le schéma de différentiation dite de Savitzky-Golay, également très utilisés dans les sciences expérimentales a été revisité pour montrer comment le régulariser. Les résultats sont appliqués à 2 exemples académiques : l'estimation du substrat d'un réacteur biologique et la vitesse latérale d'une automobile.