Auteur / Autrice : | Alexandre Engoulatov |
Direction : | Maxim Kontsevich |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance en 2006 |
Etablissement(s) : | Paris 11 |
Partenaire(s) de recherche : | autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Cette thèse porte sur une question de géométrie riemannienne motivée par l'étude de la compactification de l'espace de modules de théories de champs conformes. M. Kontsevich associe à une suite de théories de champs conformes qui dégénère un objet limite qui comporte une variété riemannienne M à courbure de Ricci positive ou nulle, et sa théorie de champs sur graphes. Il s'agit d'une famille d'opérateurs sur les puissances tensorielles de l'espace de Hilbert L^2(M), indexés par des graphes métriques. Le prototype est le semi-groupe de la chaleur P_t, associé au graphe à deux sommets et une arête de longueur t. Le résultat principal de la thèse est une estimation de la norme du gradient du logarithme du noyau de la chaleur sur une variété riemannienne compacte, en temps petit, en fonction de la borne inférieure de la courbure de Ricci et du diamètre seulement. La preuve, qui utilise le calcul stochastique, s'étend à certains semi-groupes satisfaisant une inégalité de courbure-dimension à la D. Bakry-M. Emery. A l'aide de résultats de J. Cheeger et T. H. Colding sur la structure des espaces limites (au sens de Gromov-Hausdorff mesuré) de telles variétés riemanniennes, on montre que l'estimation s'étend à ces espaces singuliers, et on en déduit un théorème de compacité pour l'espace de modules de théories de champs sur graphes associées à des variétés riemanniennes compactes à courbure de Ricci uniformément minorée.