Progressive waves and model of ischemic stroke

• Auteur / Autrice : Guillemette Chapuisat
• Direction : Emmanuel Grenier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Mathématiques appliquées à la médecine

Front progressif

Réaction-diffusion

Résumé

Les accidents vasculaires cérébraux (AVC) sont un enjeu de santé publique majeur. Une façon de les étudier est d'établir des modèles mathématiques. Cette thèse comporte deux parties, l'une sur la modélisation et l'autre sur l'étude théorique de certaines équations qui en découlent. Dans la première partie, on présente un modèle phénomènologique global d'AVC ischémique qui prend en compte une diminution du flux sanguin, la gestion de l'énergie par la cellule, la propagation des dépressions corticales envahissantes (onde de dépolarisation) et deux types de mort cellulaire (la nécrose et l'apoptose). Après avoir présenté les différents sous-modèles en détails, on simule différentes expériences dans des géométries de cerveau simplifiées. Les expériences numériques sur la reperfusion permettent de formuler de nouvelles hypothèses biologiques. Dans la deuxième partie de cette thèse, on étudie divers problèmes théoriques issus de la modélisation des ondes de dépolarisation. On étudie l'existence de fronts progressifs généralisés solutions d'une équation de réaction-diffusion de type bistable dans un domaine cylindrique dont le diamètre augmente brutalement. Si l'augmentation du diamètre est trop importante, il n'existe pas de tels fronts. On s'interesse aussi à l'existence de fronts progressifs courbes à la fois solutions d'une équation de réaction-diffusion dans un cylindre et d'une équation de diffusion et absorption en dehors de ce cylindre. Si le rayon du cylindre est petit, il n'existe pas d'onde et s'il est grand, on montre l'existence de telles solutions en étudiant l'énergie dans un référentiel en mouvement.

Stroke is the third cause of death and the first cause of acquired handicap in occidental countries. One way to study it is to design mathematical models. This thesis is made of two parts, one on the modeling of stroke and the other on the theoretical study of some equations coming from the model. In the first part, we present a phenomenological model of stroke that takes into account the reduction of the blood flow, the cell energy dealing, the spreading depressions (a depolarization of the neurons that spreads through the cortex) and two ways of cellular death (apoptosis and necrosis). Various numerical simulations are then made. The numerical results on the reopening of the vessel lead to new biological hypotheses. In the second part of the thesis, we study some theoretical problems coming from numerical experiments on the model of spreading depression. In particular, we study the existence of generalized travelling fronts solutions of a bistable reaction-diffusion equation on a cylinder which diameter is suddenly increased. We prove the non existence of such fronts if the diameter is strongly increased. We also have interest in the existence of curved travelling fronts solutions of reaction-diffusion equation in a cylinder and diffusion-absorption equation outside the cylinder. If the diameter of the cylinder is large enough, we prove the existence of a curved front by studying the energy of the solution in a travelling referential.