Renormalisation des théories de champs non commutatives

Renormalization of non-commutative field theory

• Auteur / Autrice : Fabien Vignes-Tourneret
• Direction : Vincent Rivasseau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Théorie quantique des champs

Géométrie non commutative

Analyse multi-échelles

Résumé

La physique des très hautes énergies nécessite une description cohérente des quatre forces fondamentales. La géométrie non commutative représente un cadre mathématique prometteur qui a déjà permis d'unifier la relativité générale et le modèle standard, au niveau classique, grâce au principe de l'action spectrale. L'étude des théories quantiques de champs sur des espaces non commutatifs est une première étape vers la quantification de ce modèle. Celles-ci ne sont pas simplement obtenues en récrivant les théories commutatives sur des espaces non commutatifs. En effet, ces tentatives ont révélé un nouveau type de divergences, appelé mélange ultraviolet/infrarouge, qui rend ces modèles non renormalisables. H. Grosse et R. Wulkenhaar ont montré, sur un exemple, qu'une modification du propagateur restaure la renormalisabilité. L'étude de la généralisation de cette méthode est le cadre de cette thèse. Nous avons ainsi étudié deux modèles sur espace de Moyal qui ont permis de préciser certains aspects des théories non commutatives. En espace x, la principale difficulté technique est due aux oscillations de l'interaction. Nous avons donc généralisé les résultats de T. Filk afin d'exploiter au mieux ces oscillations. Nous avons pu ainsi distinguer deux types de mélange, renormalisable ou pas. Nous avons aussi mis en lumière la notion d'orientabilité : le modèle de Gross-Neveu non commutatif orientable est renormalisable sans modification du propagateur. L'adaptation de l'analyse multi-échelles à la base matricielle a souligné l'importance du graphe dual et représente un premier pas vers une formulation des théories de champs indépendante de l'espace sous-jacent.

Very high energy physics needs a coherent description of the four fundamental forces. Non-commutative geometry is a promising mathematical framework which already allowed to unify the general relativity and the standard model, at the classical level, thanks to the spectral action principle. Quantum field theories on non-commutative spaces are a first step towards the quantification of such a model. These theories can't be obtained simply by writing usual field theory on non-commutative spaces. Such attempts exhibit indeed a new type of divergencies, called ultraviolet/infrared mixing, which prevents renormalizability. H. Grosse and R. Wulkenhaar showed, with an example, that a modification of the propagator may restore renormalizability. This thesis aims at studying the generalization of such a method. We studied two different models which allowed to specify certain aspects of non-commutative field theory. In x space, the major technical difficulty is due to oscillations in the interaction part. We generalized the results of T. Filk in order to exploit such oscillations at best. We were then able to distinguish between two mixings, renormalizable or not. We also bring the notion of orientability to light : the orientable non-commutative Gross-Neveu model is renormalizable without any modification of its propagator. The adaptation of multi-scale analysis to the matrix basis emphasized the importance of dual graphs and represents a first step towards a formulation of field theory independent of the underlying space.