Convection-reaction-diffusion systems and interface dynamics

• Auteur / Autrice : Matthieu Alfaro
• Direction : Danielle Hilhorst
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Génération d'interface

Propagation d'interface

Epaisseur d'interface

Chimiotactisme

Equation d'Allen-Cahn

Système de Fitzhugh-Nagumo

Anisotropie

Résumé

Cette thèse porte sur la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations paraboliques non-linéaires de type bistable, avec des conditions initiales générales. Nous prouvons des propriétés de génération d'interface et analysons le déplacement de l'interface. Nous obtenons une estimation nouvelle et optimale de l'épaisseur et de la localisation de la zone de transition, améliorant ainsi des résultats connus pour différents problèmes modèles. Au chapitre 1, nous considérons d'abord une équation d'Allen-Cahn. Nous étendons ensuite nos résultats à une classe assez large de systèmes de réaction-diffusion. Le chapitre 2 est consacré à l'étude d'un système qui modélise une agrégation d'amibes soumises à la diffusion, à la croissance et au chimiotactisme. Enfin, au chapitre 3, nous considérons une équation anisotrope qui intervient en science des matériaux et dont le terme de diffusion est inhomogène et singulier aux points où le gradient de la solution s'annule.

This thesis deals with the singular limit of systems of parabolic partial differential equations, with bistable nonlinear reaction terms and general initial data. We prove some generation of interface properties and study the motion of interface. We revisit a variety of model problems and obtain a new and optimal estimate of the thickness and the location of the transition layer that develops. In chapter 1, we first consider a perturbed Allen-Cahn equation. Then, we extend our results to a large class of reaction-diffusion systems. Chapter 2 is devoted to the study of a chemotaxis system. This is a model for the aggregation of amoebae in the presence of diffusion, growth and chemotaxis. Finally, in chapter 3, we consider an anisotropic equation, which arises for instance in material sciences, and whose difusion term is spatially inhomogeneous and singular in the points where the gradient of the solution vanishes.