Approche analytique et numérique pour l'aéroacoustique en régime transitoire par le modèle de Galbrun

Analytical and numerical approach for transient aeroacoustics by a Galbrun's model

• Auteur / Autrice : Kamel Berriri
• Direction : Anne-Sophie Bonnet-Bendhia, Patrick Joly
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles acoustiques

Simulation par ordinateur

Ondes -- Propagation

Résumé

La thèse a pour objet la modélisation et la simulation numérique de la propagation d'ondes dans un fluide en écoulement uniforme ou fortement cisaillé. Nous retiendrons l'équation de Galbrun comme modèle mathématique linéarisé pour décrire ce phénomène. Cette équation, dont l'inconnue est le déplacement lagrangien, ne se prête pas à une étude mathématique directe en raison d'un défaut d'ellipticité. La première partie traite le cas d'un écoulement subsonique uniforme. Nous présentons dans un premier temps une méthode de régularisation pour pallier le défaut de coercivité de la ``partie spatiale'' de l'équation de Galbrun et, dans un deuxième temps, une méthode de résolution numérique stable. En outre, nous calculons à l'aide de la technique de Cagniard-de Hoop, le tenseur de Green de l'équation de Galbrun. Ce tenseur admet une singularité non intégrable en espace et en temps. La deuxième partie est consacrée à l'extension de ce qui précède au cas des écoulements brutalement cisaillés. Nous montrons par l'analyse de Kreiss que le problème limite est fortement mal posé. Pour contourner cette difficulté, nous proposons alors deux approches fondamentalement différentes. La première est analytique : nous utilisons la méthode de Cagniard-de Hoop pour calculer analytiquement la solution fondamentale du problème. La deuxième approche repose sur la conception d'un nouveau modèle. Nous montrons comment, à partir de techniques asymptotiques de type ``couche limite'', on peut construire de nouvelles conditions de transmission conduisant à un problème bien posé et rendant compte du phénomène d'instabilité de Kelvin-Helmholtz.

The goal of the thesis is the modelling and the numerical simulation of the wave propagation in a fluid with a uniform or strong shear flow. We retain the Galbrun's equation as a linearized mathematical model to describe this phenomenon. This equation for the lagrangian displacement, can not directly analyzed mathematically due to an ellipticity defect. The first part deals with the case of a uniform subsonic flow. First, we present a regularization method to correct the coercivity defect of the Galbrun equation ''spatial part'' and then followed by a stable numerical method of resolution. Furthermore, we calculate by the Cagniard-de Hoop technique the Green tensor of the Galbrun's equation. This tensor admits a non-integrable singularity in space and time. The second part, focuses on the extension of the previous methods for a strong shear flow. Using Kreiss analysis, we prove that the ''limit problem'' (as the thickness of the shear layer goes to 0) is strongly ill-posed. To overcome this difficulty, we propose different approaches. The first one is analytical, it consists in applying the Cagniard-de Hoop method to calculate analytically the fundamental solution of the problem. Then, the latter solution is mathematically defined in the sense of the ultra-distribution theory. The second approach is based on the conception of a new model. We prove by boundary layers asymptotic techniques, that we can construct new transmission conditions leading to well-posed problem and taking into account the phenomenon of Kevin-Helmholtz instability.