Opérations sur la k-théorie algébrique et régulateurs via la théorie homotopique des schémas

Operations on algebraic K-theory and regulators via the homotopy theory of schemes

• Auteur / Autrice : Joël Riou
• Direction : Bruno Kahn
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Catégories (mathématiques)

Topologie algébrique

Homotopie

K-théorie

Résumé

Cette thèse est une contribution à la théorie homotopique des schémas. Dans la première partie, on poursuit les constructions de Fabien Morel et Vladimir Voevodsky en définissant la catégorie homotopique stable des sites suspendus avec intervalles. La généralité, plus grande que celle permise par la définition de John F. Jardine, permet de donner une construction rigoureuse des foncteurs « points complexes » en théorie homotopique des schémas. Dans la seconde partie, on montre qu'au-dessus d'un schéma de base régulier S, se donner un endomorphisme dans la catégorie homotopique de S de la grassmannienne infinie (donnant un modèle de la K-théorie algébrique d'après un théorème de Morel et Voevodsky) revient à se donner une application fonctorielle K(X) -> K(X) où X parcourt la catégorie des schémas lisses sur S. Ceci permet de construire une structure de À-anneau spécial sur les groupes de K-théorie algébrique supérieure et de vérifier que cette structure coïncide avec les constructions antérieures. Les opérations additives sur la K-théorie algébrique sont étudiées en détail et des versions stables de ces énoncés sont obtenues, à coefficients entiers ou rationnels. La technique utilisée permet également de construire des classes de Chern sur la K-théorie algébrique supérieure à valeurs dans la cohomologie motivique (et dans d'autres théories cohomologiques) et de montrer très explicitement l'existence de morphismes stablement fantômes en théorie homotopique des schémas.

This thesis contributes to the homotopy theory of schemes. In the first part, we carry onward the constructions by Fabien Morel and Vladimir Voevodsky: we define the stable homotopy categories of hanging sites with intervais. This construction is more general than the one of John F. Jardine: this enables us to provide a precise definition of the ''complex points'' functors in the homotopy theory of schemes. In the second part, we prove that in the homotopy category of a regular scheme S, the set of endomorphisms of the infinite Grassmannian (which gives a model for algebraic K-theory by a theorem by Morel and Voevodsky) is naturally isomorphic to the set of natural transformations from the Grothendieck group functor (considered as presheaf of sets on the category of smooth schemes over S) to itself. This enables us to build a special À-ring structure on higher K-groups and to check that this construction is the same as the ones that were constructed before. Additive operations on algebraic K-theory are studied carefully and stable versions of the theorems are provided either with integer or rational coefficients. The technique also allows us to define Chern classes on higher K-groups with values in motivic cohomology (and other cohomological theories) and to assert the existence of ''superphantom'' maps in the homotopy theory of schemes.