Bifurcations et propriétés qualitatives de quelques systèmes spatialement étendus

Birfurcations and qualitative properties of some spatially extended systems

• Auteur / Autrice : Guillaume Réocreux
• Direction : Emmanuel Risler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Bifurcation, Théorie de la

Systèmes dynamiques

Équations aux dérivées partielles

Résumé

On étudie des systèmes spatialement étendus, modélisés par des équations aux dérivées partielles, au voisinage de bifurcations, dont l’apport structurant per met d’obtenir des résultats sur les propriétés qualitatives des systèmes. Dans une première partie, une orbite périodique spatialement homogène proche d’une homocline séparatrice à une nœud-col peut présenter une instabilité vis-à-vis de perturbations de grandes longueurs d’onde dite autoparamétrique caractérisée par une longueur d’onde caractéristique et un doublement de période temporelle. Si le couplage spatial est stabilisant au voisinage de la bifurcation nœud-col, on montre l’existence d’une courbe de seuil de l’instabilité autoparamétrique, et en étudiant les termes de l’équation d’amplitude correspondante, on montre le critère qui détermine le caractère supercritique ou sous-critique de l’instabilité. Les résultats sont appliqués au pendule visqueux forcé avec un couplage diffusif. Dans une deuxième partie, on développe l’étude d’une équation aux dérivées partielles pour laquelle on peut appliquer le principe du maximum et utiliser une fonctionnelle de Lyapunov, et qui présente une bifurcation homocline à un nœud-col, déployée par une condition de Neumann non homogène au bord. On montre que le système présence une émission périodique de type l de pulses au voisinage de la bifurcation, pour un domaine d’espace borné.

We study spatially extended systems, modelized by partial differential equations, in the neighbourhood of bifurcations, whose structure allows to obtain results on the qualitative properties of the systems. In a first part, a spatially homogeneous periodic orbit close to a saddle-node separatrix-loop can exhibit an instability with respect to large wavelength perturbations called selfparametric, characterized by characteristics wavelength and a time period doubling. If the spatial coupling is stabilizing in the neighbourhood of the saddle-node bifurcation, we show the existence of e threshold curve of the selfparametric instability, and by studying the terms in the corresponding amplitude equation, we show the criterium that determines the supercritical or subcritical character of the instability. The results are applied to the dampened pendulum with a constant torque, with a diffusing coupling. In a second part, we develop the study of a partial node bifurcation, unfolded by an inhomogeneous Neumann boundary condition. We show that the system exhibits a type I periodic emission of pulses in the neighbourhood of the bifurcation, for a bounded spatial domain.