Thèse soutenue

Bifurcations et propriétés qualitatives de quelques systèmes spatialement étendus

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Auteur / Autrice : Guillaume Réocreux
Direction : Emmanuel Risler
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2006
Etablissement(s) : Nice
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice2000-....)

Mots clés

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Résumé

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On étudie des systèmes spatialement étendus, modélisés par des équations aux dérivées partielles, au voisinage de bifurcations, dont l’apport structurant per met d’obtenir des résultats sur les propriétés qualitatives des systèmes. Dans une première partie, une orbite périodique spatialement homogène proche d’une homocline séparatrice à une nœud-col peut présenter une instabilité vis-à-vis de perturbations de grandes longueurs d’onde dite autoparamétrique caractérisée par une longueur d’onde caractéristique et un doublement de période temporelle. Si le couplage spatial est stabilisant au voisinage de la bifurcation nœud-col, on montre l’existence d’une courbe de seuil de l’instabilité autoparamétrique, et en étudiant les termes de l’équation d’amplitude correspondante, on montre le critère qui détermine le caractère supercritique ou sous-critique de l’instabilité. Les résultats sont appliqués au pendule visqueux forcé avec un couplage diffusif. Dans une deuxième partie, on développe l’étude d’une équation aux dérivées partielles pour laquelle on peut appliquer le principe du maximum et utiliser une fonctionnelle de Lyapunov, et qui présente une bifurcation homocline à un nœud-col, déployée par une condition de Neumann non homogène au bord. On montre que le système présence une émission périodique de type l de pulses au voisinage de la bifurcation, pour un domaine d’espace borné.