Intégration numérique avec erreur bornée en précision arbitraire

Multiple-precision numerical quadrature with bounded error

• Auteur / Autrice : Laurent Fousse
• Direction : Paul Zimmermann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Newton, Méthode de

Arithmétique en virgule flottante

Intégration numérique

Résumé

L'intégration numérique est une opération fréquemment disponible et utilisée dans les systèmes de calcul numérique. Nous nous intéressons dans ce mémoire à la maîtrise des erreurs commises lors d'un calcul numérique d'intégrale réelle à une dimension dans le contexte de la précision arbitraire pour les deux méthodes d'intégration que sont Newton-Cotes et Gauss-Legendre. Du point de vue algorithmique nous proposons pour chacune des méthodes une procédure de calcul avec une borne effective sur l'erreur totale commise. Dans le cadre de l'étude de la méthode de Gauss-Legendre nous avons étudié les algorithmes connus de raffinement de racines réelles d'un polynôme (la méthode de la sécante, l'itération de Newton, la dichotomie), et nous en avons proposé des heuristiques explicites permettant de s'assurer en pratique de la convergence. Les algorithmes proposés ont été implémentés dans une bibliothèque d'intégration numérique baptisée « Correctly Rounded Quadrature » (CRQ) disponible à l'adresse http://komite. Net/laurent/soft/crq/. Nous comparons CRQ avec d'autres logiciels d'intégration dans ce mémoire.

Numerical integration is commonly available in numerical computation systems. We study in this thesis the error on the result of a numerical quadrature using the Newton-Cotes and Gauss-Legendre methods for a monodimensional real function in the context of arbitrary precision. From the algorithmic point of view we give for each method a computation procedure with a guaranteed bound on the error. For the analysis of the Gauss-Legendre method we studied polynomial root refinement schemes (secante, Newton's iteration, dichotomy) and we gave heuristics to make sure the method converges in practice. The algorithms proposed in this thesis were written in a numerical quadrature library called ''Correctly Rounded Quadrature'' (CRQ) available at http://komite. Net/laurent/soft/crq/. We also give a comparison of CRQ with other numerical integration softwares.