Ordonnancement chromatique : polyèdres, complexité et classification

Chromatic schedullng : polyhedra, complexity and classification

• Auteur / Autrice : Vincent Jost
• Direction : András Sebő, Nadia Brauner
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Recherche opérationnelle. Combinatoire et optimisation
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions sousmodulaires

Graphes parfaits

Recherche opérationnelle

Mots clés libres

Coloration de graphes

Combinatoire polyédrale

Line de bipartis

Résumé

La coloration des graphes permet de modéliser certaines applications de la recherche opérationnelle. Souvent, le problème classique de la coloration minimum n'est pas assez souple pour exprimer les. . Contraintes qui apparaissent naturellement dans les applications. Certains des raffinements nécessaires sont déjà connus dans la théorie de l'ordonnancement. Cela mène à des formulations hybrides regroupées sous le terme "ordonnancement chromatique". Ces contraintes mènent à des problèmes comme la « coloration bornée », « l'extension pré-colorée» ou la « max-coloration ». Nous construisons de nouvelles bornes inférieures pour la valeur optimum de ces problèmes de minimisation. Les résultats principaux montrent que ces bornes inférieures donnent des formules min-max et mènent à des algorithmes efficaces dans des sous-classes de graphes parfaits. C'est en particulier le cas pour les compléments de graphes d'intervalles (fondamentaux dans les problèmes de production et de transport) ou les line-graphes de bipartis (fondamentaux dans les problèmes d'emploi du temps). Ces problèmes d'ordonnancement chromatique sont souvent NP-difficiles même dans les graphes bipartis (et donc dans les graphes parfaits). En fonction du problème et de la classe de graphe à laquelle on s'intéresse, nous avons tenté de tracer les frontières entre les cas polynomiaux, les cas NP-difficiles et les cas où la borne inférieure proposée donne une formule min-max. Ceci permet de résumer les principaux résultats connus et d'orienter les recherches pour trouver des bornes inférieures plus générales ainsi que des algorithmes ayant un bon rapport d'approximation.

Some problems in operations research can be modelled as graph colouring problems. Often however, the classical problem of minimum colouring is not able to express some additional constraints that naturally appear in applied contexts. On the other hand, some of these constraints are weil known in scheduling theory. The scope of "chromatic scheduling" is to deal with these hybrid models. This includes problems such as "bounded colouring", "precolouring extension" or "max colouring". We provide new lower bounds for the optimum value of these minimization problems. The main results state that these lower bounds yield min-max formulas in subclasses of perfect graphs. Ln particular, we obtain min-max formulas and efficient algorithms for complement of interval graphs (which are fundamental in transport and production problems) and line-graphs of bipartite graphs (fundamental in timetabling problems). These chromatic scheduling problems are often NP-hard even for bipartite graphs (and therefore for perfect graphs). Depending on the problem and the graph class to which we restrict, we tried to draw the frontiers between polynomial cases, NP-hard cases and those cases for which the lower bound is tight. This allows to summarize the main known results and to design some more generallower bounds as weil as approximation alaorithms with aood Derformance ratios.