Estimation de la fonction des quantiles pour des données tronquées

Estimation of the quantile function for truncated data

• Auteur / Autrice : Nicolas Poulin
• Direction : Elias Ould-Saïd, Mohamed Lemdani
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées. Statistiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Littoral
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse des données

Convergence (mathématiques)

Statistique mathématique -- Théorie asymptotique

Mots clés libres

Alpha-mélange

Estimateur de Lynden-Bell

Fonction des quantiles

Quantiles conditionnels

Normalité asymptotique

VC-Classe

Résumé

Dans le modèle de troncature à gauche, deux variables aléatoires Y et T, de fonctions de répartition respectives F et G ne sont observables que si Y ≥ T. Considérons un échantillon observé (Yi, Ti) ; 1 ≤ i ≤ n de ce couple de variables aléatoires. La fonction des quantiles de F est estimée par la fonction des quantiles de l’estimateur de Lynden-Bell (1971). Après avoir présenté les principaux résultats de la littérature dans le cadre de données indépendantes, nous considérons le cas des données α-mélangeantes. Nous établissons la convergence forte ainsi qu’une représentation forte du quantile sous la forme d’une moyenne de variables aléatoires avec un reste négligeable, ainsi que la normalité asymptotique. Pour le second travail de cette thèse, nous considérons un problème de régression de Y par une variable aléatoire explicative multi-dimensionnelle X. Nous établissons la convergence et la normalité asymptotique de la fonction de répartition conditionnelle ainsi que celles du quantile conditionnel de Y sachant X lorsque Y est tronquée. Des simulations nous ont permis de vérifier la qualité de l’estimation sur des échantillons de taille finie.

In the left-truncation model, the pair of random variables Y and T with respective distribution function F and G are observed only if Y ≥ T. Let (Yi,Ti) ; 1 ≤ i ≤ n be an observed sample of this pair of random variables. The quantile function of F is estimated by the quantile function of the Lynden-Bell (1971) estimator. After giving some results of the literature in the case of independant data, we consider the α-mixing framework. We obtain strong consistency with rates, give a strong representation for the estimator of the quantile as a mean of random variables with a neglible rest and asymptotic normality. As regards the second topic of this thesis, we consider a multidimensionnal explanatory random variable X of Y which plays the role of a response. We establish strong consitency and asymptotic normality of the conditional distribution function and those of the conditional quantile function of Y given X when Y is subject to truncation. Simulations are drawn to illustrate the results for finite samples.