Méthodes de réduction, conservant les structures, pour le calcul des valeurs et vecteurs propres d'une matrice structurée

Methods of reduction, preserving the structures, for calculation of the eigenvalues and eigenvectors of a structured matrix

• Auteur / Autrice : Anas El- Farouk
• Direction : Ahmed Salam
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Littoral
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais)
• Jury : Président / Présidente : Claude Brezinski
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lothar Reichel, Khalid Jbilou
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Youcef Saad, Michela Redivo Zaglia

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie symplectique

Vecteurs propres

Valeurs propres

Matrices

Mots clés libres

Gram-Schmidt symplectique

Transformations de Householder symplectiques

Factorisation SR symplectique

Krylov symplectique

Réduction de matrice structurée

Résumé

Le premier volet de cette thèse traîte des méthodes de factorisation du type QR, concernant le cas symplectique. Ainsi, l'algorithme de Gram-Schmidt symplectique (SGS) et ses versions modifiées sont étudiés en détail. En particulier, l'analyse d'erreurs de l'algorithme, nous a permis d'obtenir des majorations pour l'erreur dans la factorisation SR et pour la perte d'orthogonalité. Nous avons également introduit et étudié les transformations de Householder symplectiques. Une méthode de type Householder pour la factorisation SR a été introduite et construite en suivant des approches algébriques et géométriques. Des résultats sur l'erreur ont été obtenus. Enfin un lien entre l'algorithme de Gram-Schmidt symplectique modifié et la factorisation SR via les transformations de Householder symplectiques a été établi. Le second volet est consacré à l'introduction et à l'étude des méthodes de type Krylov, conservant les structures d'une matrice, lorsque la taille de celle-ci est réduite, pour approcher certains vecteurs et valeurs propres de la matrice structurée originelle. Deux méthodes du type Arnoldi ont été proposées et étudiées. L'une utilise l'algorithme SGS, dans le procédé d'orthogonalisation, tandis que l'autre utilise les transvections de Householder. Enfin, nous avons aussi introduit et étudié des méthodes du type Lanczos symplectiques. Ces méthodes, contrairement aux méthodes classiques, permettent à la matrice réduite d'hériter de la structure Hamiltonienne, anti-Hamiltonienne ou symplectique de la matrice. La supériorité de ces méthodes pour le cas structuré ci-dessus, est l'objet du dernier chapitre. Elle est illustrée par des tests numériques.

The first part of this thesis deals with QR-like factorization for the symplectic case. Thus, the symplectic Gram-Schmidt (SGS) algorithm and its modified versions are studied in detail. In particular, the error analysis for the algorithm allowed us to obtain bounds for the error in the SR factorizationand for the loss of orthogonality. We also introduced and studied the symplectic Householder transformations. A Houselder type method for the factorization SR is introduced and studied following an algebraic and geometric approches. Results on the error are obtained. Finally, a link with the modified SGS and the SR factorization via Householder transvections is established. The second part is devoted to the introduction and the study of Krylov-like methods, structure preserving, for the eigenvalue problem. Two Arnoldi's methods are highlighted. One used the SGS in the orthogonalization process while the other performs the factorization via symplectic transvections. Finally, symplectic Lanczos type methods are introduced and studied. Unlike the classical methods, all these methods are structured-preserving for Hamiltonian, skew-Hamiltonian and symplectic matrices. The last chapter is devoted to numerical experiments.