Analyse et estimations spectrales des processus α-stables non-stationnaires

par Nourddine Azzaoui

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Rachid Sabre et de Bernard Schmitt.

Soutenue en 2006

à Dijon .

mots clés

• Statistique non paramétrique
• Statistique non paramétrique
• Analyse spectrale
• Spectroscopie

Résumé

Dans cette thèse une nouvelle représentation spectrale des processus symétriques alpha-stables est introduite. Elle est basée sur une propriété de pseudo-additivité de la covariation et l'intégrale au sens de Morse-Transue par rapport à une bimesure que nous construisons en utilisant la pseudo-additivité. L'intérêt de cette représentation est qu'elle est semblable à celle de la covariance des processus du second ordre; elle généralise celle établie pour les intégrales stochastiques par rapport à un processus symétrique alpha-stable à accroissements indépendants. Une classification des processus harmonisables non stationnaires a été étudiée selon la structure de la bimesure qui les caractérise et les processus périodiquement covariés ont été définis. Pour pouvoir simuler cette inhabituelle classe de processus, une nouvelle décomposition en séries de type Lepage a été apportée. Finalement des techniques non paramétriques d'estimation spectrale sont discutées. En particulier un estimateur presque sûrement convergeant sous une condition de mélange fort, a été introduit pour les processus périodiquement covariés.

Résumé

In this work a new spectral representation of a symmetric alpha-stable processes is introduced. It is based on a covariation pseudo-additivity and Morse-Transue's integral with respect to a bimeasure built by using pseudo-additivity property. This representation, specific to (S alpha S) processes, is analogous to the covariance of second order processes. On the other hand, it generalizes the representation established for stochastic integrals with respect to symmetric alpha-stable process of independent increments. We provide a classification of non-stationary harmonizable processes; this classification is based on the bimeasure structure. In particular, we defined and investigated periodically covariated processes. To simulate and build this unusual class, a new decomposition in the Lepage's type series was derived. Finally, to apply this results in practical situations, a nonparametric estimation of spectral densities are discussed. In particular, in the case of periodically covariated processes, an almost sure convergent estimators was derived under the strong mixing condition.