Problèmes de type Kummer-Vandiver dans les corps de fonctions

Problems of Kummer-Vandiver type for function fields

• Auteur / Autrice : Erwan Le Yaouanc
• Direction : Bruno Anglès
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs applications
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Caen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Bernoulli, Nombres de

Extensions abéliennes

Corps finis

Arithmétique

Nombres, Théorie des

Résumé

Fixons un nombre premier p. La célèbre conjecture de Vandiver prédit la nullité du p-Sylow du groupe de classes du sous-corps totalement réel maximal du pème corps de nombres cyclotomique. Nous étudions ici des analogues de cette conjecture dans le cadre des corps de fonctions sur un corps fini, ou en d'autres termes, en caractéristique positive. Nous rappelons dans une première partie la construction des fonctions zétas des corps de fonctions sur un corps fini puis celle des corps de fonctions cyclotomiques. Dans une deuxième partie, nous développons des techniques arithmétiques propres aux corps de fonctions. En particulier, l'utilisation des nombres de Bernoulli nous permet de ramener les conjectures de nature algébrique, c'est-à dire celles concernant les corps à des conjectures de nature arithmétique, c'est-à-dire formulées en termes de polynômes et d'entiers. Ceci nous permet grâce au cas des corps quadratiques de montrer l'invalidité d'une version forte de l'analogue de la conjecture de Vandiver. Nous énonçons alors la conjecture de Goss qui est un analogue plus fin de la conjecture de Vandiver qui porte sur les composants isotypiques du groupe de classe. Dans une dernière partie, nous montrons que cette conjecture s'exprime d'une manière simple et naturelle dans le cadre de la théorie d'Iwasawa

Let us fix a prime number p. The famous conjecture of Vandiver predicts the nullity of the p-Sylow of the class group of the maximum totally real subfield of the pth cyclotomic number field. We study here analogues of this conjecture within the framework of the function fields over a finite field, or in other words, in positive characteristic. We recall in a first part the construction of the zeta functions of the functions fields over a finite field, then the construction of cyclotomic function fields. In a second part, we develop arithmetic technics specific to function fields. In particular, the use of Bernoulli's numbers enables us to transform the conjectures of algebraic nature, i. E. Concerning the fields, to conjectures of arithmetic nature, i. E. Formulated in terms of polynomials and numbers. This enables us, by the case of the quadratic fields to show the disability of a strong version of the analogue of the conjecture of Vandiver. We then state the conjecture of Goss that is a shrewd analogue of the conjecture of Vandiver which deals with to the components isotypic of the group of class. In a last part, we show that this conjecture is expressed in a simple and natural way within the framework of the Iwasawa's theory