Thèse soutenue

La trace en géométrie projective et torique

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Auteur / Autrice : Martin Weimann
Direction : Alain Yger
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et informatique. Mathématiques pures
Date : Soutenance en 2006
Etablissement(s) : Bordeaux 1

Résumé

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On étudie la notion de trace et les problèmes d'Abel-inverse à l'aide de l'utilisation systématique du calcul résiduel dans les cadres projectifs et toriques. Dans la première partie, on obtient une caractérisation algébrique des formes traces sur une hypersurface analytique à l'aide du calcul résiduel élémentaire d'une variable. En conséquence, une version plus forte du théorème d'Abel-inverse de Henkin et Passare est prouvée. On montre que ce théorème est conséquence de la rigidité d'un système différentiel particulier lié à une équation de type "onde de choc" et on établit le lien avec le théorème de Wood sur l'algébricité d'une famille de germes d'hypersurfaces analytiques. Enfin, on obtient une nouvelle méthode pour calculer la dimension de l'espace des formes abeliennes de degré maximal sur une hypersurface projective. Dans la seconde partie, on caractérise de manière combinatoire les familles de fibrés en droites permettant de définir une notion intrinsèque de concavité dans une variété torique complète lisse et on étudie les ensembles analytiques dégénérés correspondants. On étend ainsi la notion de trace au cas torique. Courants résidus, résidus toriques etc résultants donnent une borne optimale sur le degrés des traces en les différents paramètres. Si la variété torique est projective, on obtient finalement une version torique des théorèmes de Wood et d'Abel-inverse, permettant une description plus précise du support du polynôme construit dans le cas hypersurface.