La théorie du potentiel des processus d'Ornstein-Uhlenbeck stables

Potential theory of stable Ornstein-Uhlenbeck processes

• Auteur / Autrice : Tomasz Jakubowski
• Direction : Piotr Graczyk
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Angers
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques

Inégalités (mathématiques)

Noyau de la chaleur

Fonctions harmoniques

Résumé

On considère le processus d’Ornstein-Uhlenbeck –stable Xt comme la solution d’équation de Langevin où le mouvement Brownien est remplacé par le processus isotrope –stable. On donne les estimations de l’espérance du premier temps de sortie de la centre de la boule B(x,r) pour tout x. Rd et r> 0. On compare ces résultats avec le cas de processus d’Ornstein-Uhlenbeck diffusion. Ensuite on tourne l’attention vers l’inégalité d’Harnack pour fonction harmonique par rapport au processus Xt. On montre que si 2 >a = 1 ou < 1= d l’inégalité d’Harnack est vraie. Pour < 1 <d on construit un contre-exemple qui montre que l’in´egalité d’Harnack n’est pas vraie. Dans la derniére partie on considére le classe de processus plus général que Xt. On montre l’existence des processus donnés par le générateur /2 + b(x) ·. Pour 1 << 2 = d et b est dans le classe de Kato K-1 dans Rd. On donne les estimations de la densité de transition de ces processus.

We consider the –stable Ornstein-Uhlenbeck process Xt as a solution of the Langevin equation where the Brownian motion is replaced by isotropic –stable process. We give sharp estimates for the expectation of the first exit time from the center of a ball B(x,r) for all x. Rd and r> 0. We compare these results with the case of the Ornstein-Uhlenbeck diffusion process. Next we focus on Harnack inequality for harmonic functions with respect to the process Xt. We show that if 2 >a = 1 or < 1= d the Harnack inequality holds. For < 1 <d we construct a counterexample that shows that the Harnack inequality does not hold. In last part we consider more general class of processes than Xt. We show existence of the processes given by the generator /2 + b(x) ·. For 1 << 2 = d and b in the Kato class K-1 on Rd and estimate transition density of these processes.