Marches aléatoires sur un amas de percolation

• Auteur / Autrice : Clément, Fabien Rau
• Direction : Pierre Mathieu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Ecole Doctorale Physique et Sciences de la Matière (Marseille)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Marches aléatoires (mathématiques)

Inégalités isopérimétriques

Résumé

Dans cette these, on s’interesse a une marche aleatoire simple sur un amas infini issu d’un processus de percolation surcritique sur les aretes de Zd (d ≥ 2) de loi Q. On etudie des transformees de Laplace de certaines fonctionnelles des temps locaux de cette marche. Dans une premiere partie, on s’interesse au cas particulier de la transformee de Laplace du nombre de points visites au temps n, note Nn. On montre notamment que cette quantite a un comportement similaire au cas ou la marche evolue dans Zd. Plus precisement, on etablit que pour tout 0 < α < 1, il existe des constantes Ci, Cs > 0 telles que pour presque toute realisation de la percolation telle que l’origine appartienne a l’amas infini et pour n assez grand, e−Cin d/d+2≤E[oméga]0 (αNn) ≤e−Csndd+2. Dans une seconde partie, on generalise ce type d’estimees pour d’autres fonctionnelles. Dans ce type de probleme, le point principal du travail reside dans l’obtention de la borne superieure. Notre approche consiste dans un premier temps, a trouver une famille d’inegalite isoperimetrique sur l’amas infini, et dans un deuxieme temps a la remonter sur un produit en couronne, ce qui nous permet alors d’obtenir une majoration de la probabilite de retour d’une certaine marche sur ce produit en couronne. L’introduction d’un produit en couronne est justement motivee par le fait que la probabilit´e de retour sur un tel graphe peut s’interpreter comme l’esperance de la transformee de Laplace de certaines fonctionnelles des temps locaux pour un bon choix des fibres. Enfin, dans la derniere partie, il est explique en detail et de maniere generale, en suivant la strat´egie d’A. Erschler, comment obtenir une inegalite isoperimetrique sur un produit en couronne de deux graphes a partir d’in´egalit´e isop´erim´etrique de chacun des deux graphes.

In this thesis, we consider a simple random walk on the infinite cluster of the percolation model on the edges of Zd (d≥2) with law Q, in the surcritical case. We look at the Laplace transformation of some functional of local times of this walk. In the first part, we investigate the particular case of the Laplace transformation of the number of visited sites up to time n, called Nn. We prove that this quantity has the same behaviour as the random walk on Zd. More precisely, we show for all 0 <α< 1, there exists some constants Ci, Cs > 0 such that for almost all realisations of the percolation such that the origin belongs to the infinite cluster and for large enough n, e−Cin d d+2 ≤ E [oméga]0 (α Nn) ≤e−Csn d d+2. In the second part, we extend this kind of estimate for other functionals. For these problems, the main work is to get the upper bound. Our approach is based, first on finding an isoperimetric inequality on the infinite cluster and secondly to lift it on a wreath product, which enables us to get an upper bound of the return probability of a particular random walk on this wreath product. The introduction of a wreath product is motivated by the fact that the return probability on such graph is linked to the Laplace transform of some functional of the locals times for a good choice of the fibers. Finally, in the last part we explain with details and in a general case, following ideas of A. Erschler, how to get a isoperimetric inequality on a wreath product of two graphs from an isoperimetric inequality on each graphs.