Surfaces de Hopf homologiques. Théorie de Seiberg-Witten non-abélienne

par Raphael Zentner

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Andrei Teleman.

Soutenue en 2006

à Aix-Marseille 1 , en partenariat avec Université de Provence. Section sciences (autre partenaire) .

mots clés

• Variétés topologiques à 4 dimensions
• Seiberg-Witten, Invariants de
• Modèles mathématiques
• H-espaces

Résumé

Cette thèse comporte deux chapitres. Le premier traite des transformations logarithmiques généralisées sur la surface de Hopf. Nous démontrons que toute quatre-variété que l'on obtient par transformations logarithmiques sur deux fibres de la surface de Hopf et qui possède le même type d'homologie que la surface de Hopf est difféomorphe à la surface de Hopf. En d'autres termes, on n'obtient pas de "structure exotique" par cette procédure contrairement à de nombreux exemples de quatre-variétés où cette opération donne lieu à des structures différentiables exotiques. Le deuxième chapitre traite une généralisation de la théorie de Seiberg-Witten à des groupes structuraux PU(N). Le cas des PU(2)-monopoles a déjà été étudié intensivement depuis plus de dix ans avec le but de démontrer la conjecture de Witten : pour certaines quatre-variétés (dites de SW-type simple) les invariants de Donaldson, associés à des PU(2)-connexions anti-autoduales, s'expriment par les variants de Seiberg-Witten. En 2004, Kronheimer a introduit des généralisations des invariants de Donaldson, associés à des PU(N)-connexions anti-autoduales. Nous adaptons les stratégies de Pidstrigach-Tyurin, Okonek-Teleman et Teleman avec le but de démontrer une généralisation de la conjecture de Witten pour les PU(N)-ASD invariants. Nous obtenons deux résultats, l'un de portée générale, l'autre sur des surfaces kähleriennes, qui semblent indiquer que cette conjecture devrait être vraie

Titre traduit

Homology Hopf surfaces. Non-abelian Seiberg-Witten-Theory

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