Déformations de métriques Einstein sur des variétés à singularités coniques

Artin function and Izumi theorem

• Auteur / Autrice : Grégoire Montcouquiol
• Direction : Jean-Marc Schlenker
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Einstein, Variétés d'

Géométrie de Riemann

Équations différentielles elliptiques -- Théorie asymptotique

Mots clés libres

Géométrie différentielle

Géométrie riemannienne

Métriques Einstein

Cônes-variétés

Rigidité infinitésimale

Equations aux dérivées partielles

Equations elliptiques

Variétés à bord

Analyse géométrique

Differential geometry

Riemannian geometry

Einstein metrics

Cone-Manifolds

Infinitesimal rigidity

Partial differential equations

Elliptic equations

Manifolds with boundary

Geometric analysis

Résumé

Partant d'une cône-variété hyperbolique compacte de dimension n>2, on étudie les déformations de la métrique dans le but d'obtenir des cônes-variétés Einstein. Dans le cas où le lieu singulier est une sous-variété fermée de codimension 2 et que tous les angles coniques sont plus petits que 2pi, on montre qu'il n'existe pas de déformations Einstein infinitésimales non triviales préservant les angles coniques. Ce résultat peut s'interpréter comme une généralisation en dimension supérieure du célèbre théorème de Hodgson et Kerckhoff sur les déformations des cônes-variétés hyperboliques de dimension 3. Si tous les angles coniques sont inférieurs à pi, on donne ensuite une construction qui à chaque variation donnée des angles associe une déformation Einstein infinitésimale correspondante.

Starting with a compact hyperbolic cone-manifold of dimension n>2, we study the deformations of the metric in order to get Einstein cone-manifolds. If the singular locus is a closed codimension 2 submanifold and all cone angles are smaller than 2pi, we show that there is no non-trivial infinitesimal Einstein deformations preserving the cone angles. This result can be interpreted as a higher-dimensional case of the celebrated Hodgson and Kerckhoff's theorem on deformations of hyperbolic 3-cone-manifolds. If all cone angles are smaller than pi, we also give a construction which associates to any variation of the angles a corresponding infinitesimal Einstein deformation.