Arithmétique des extensions d'Artin-Schreier-Witt

The arithmetic of Artin-Schreier-Witt extensions

• Auteur / Autrice : Lara Thomas
• Direction : Christian Maire, Bart De Smit
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Toulouse 2

Mots clés

Mots clés contrôlés

Galois, Théorie de

Extensions abéliennes

Arithmétique

Résumé

Le sujet de cette thèse est l'étude des pro-p extensions abéliennes sur un corps K de caractéristique p, appelées extensions d'Artin-Schreier-Witt. La première partie propose une construction des vecteurs de Witt afin de développer la théorie de Galois infinie sur la pro-p extension abélienne maximale de K. La seconde partie décrit la ramification des extensions d'Artin-Schreier-Witt lorsque le corps K est complet pour une valuation discrète et de corps résiduel parfait. On propose également une formulation explicite des groupes de ramification dans le cadre de la théorie locale du corps de classes. Enfin, la dernière partie étudie la structure galoisienne d'une extension totalement ramifiée de degré p sur K : on donne plusieurs critères pour que son anneau des entiers soit libre sur l'ordre associé.

This thesis is essentially the study of pro-p abelain extensions over a field K of characteristic p that are usually called the Artin-Schreier-Witt extensions. In a first part, the functorial construction of Witt vectors leads to describe the infinite Galois theory for the maximal abelian pro-p extension of K. The seond part develops ramification theory for Artin-Schreier-Witt extensions when K is a complete discrete valuation field with perfect residue field. Moreover, it describes explicitly the ramification groups in the usual framework of local class field theory. The third part finally develops the Galois module structure for totally ramified Artin-Schreier-Witt extension of degree p and it investigates whether the integer ring is a free module over the associated order.