Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Karine Beauchard
Direction : Jean-Michel Coron
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2005
Etablissement(s) : Paris 11
Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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On considère une particule quantique dans un puits de potentiel carré infini en mouvement. Elle est modélisée par une fonction d'onde solution d'une équation de Schrödinger. Il s'agit d'un système commandé dans lequel la variable d'état est la fonction d'onde de la particule quantique et le contrôle est l'accélération du puits de potentiel. Dans une première partie, on étudie la contrôlabilité de ce système commandé bilinéaire. En dimension 1 d'espace, on démontre la contrôlabilité locale de la fonction d'onde au voisinage des états propres, et sa contrôlabilité entre états propres. On contrôle également la position et la vitesse du puits de potentiel. La preuve utilise la méthode du retour de J. -M. Coron, la méthode des moments, un théorème d'inversion locale de type Nash-Moser, des déformations quasi-statiques et des développements à l'ordre deux. En dimension 3 d'espace, on étudie le système linéarisé autour d'un état propre. On démontre la non contrôlabilité de la fonction d'onde, la vitesse et la position du puits de potentiel, pour ce système linéarisé. On prouve également la non contrôlabilité de la fonction d'onde, lorsque le puits est astreint à se déplacer sur une droite. Enfin, on aborde la non contrôlabilité entre états propres de ce système linéarisé, qui est une propriété plus forte que sa non contrôlabilité. On conjecture qu'elle a lieu génériquement par rapport au domaine, mais la preuve de cette conjecture est inachevée. Dans cette section, on utilise des fonctions holomorphes et des dérivations par rapport au domaine. Dans une deuxième partie, on s'intéresse à la stabilisation en boucle fermée de ce système quantique. La mesure posant des problèmes en mécanique quantique, l'objectif est de fournir des contrôles calculables numériquement, qu'on appliquerait ensuite en boucle ouverte au système physique, dans le but de l'amener asymptotiquement à l'état fondamental. On propose une loi feedback qui traite un cas critique d'un travail antérieur de M. Mirrahimi et P. Rouchon sur un système quantique de dimension finie, puis on étudie la généralisation de ces méthodes au cas d'une EDP. Elles reposent sur la théorie de Lyapounov et le principe de LaSalle.