Dynamics of the wave equations with partial damping

• Auteur / Autrice : Romain Joly
• Direction : Geneviève Raugel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Equation des ondes amorties

Stabilité de la dynamique

Attracteurs

Amortissement sur le bord

Propriété de Morse-Smale

Transversalité

Perturbations

Résumé

Le but de cette these est l'etude qualitative de la dynamique des equations des ondes amorties sur un ouvert borne. Nous considerons l'equation des ondes avec amortissement interne : u_tt+gamma(x)u_t=laplacien u+f(x,u) ; ou l'equation des ondes amorties sur le bord : u_tt=laplacien u+f(x,u) et du/dn+g(x)u_t=0 sur le bord b de l'ouvert. Les principaux resultats de cette these concernent la stabilite de la dynamique de ces equations et la convergence de la dynamique de l'equation des ondes avec amortissement interne vers celle de l'equation avec amortissement sur le bord quand gamma(x) tend vers g(x)*dirac(x dans b). Entre autres, nous montrons, en dimension un, la genericite de la propriete de morse-smale par rapport a f(x,u). Ces resultats permettent en particulier de justifier le modele de l'equation des ondes avec amortissement sur le bord.

The purpose of this thesis is the qualitative study of the dynamics of the damped wave equations in a bounded domain. We consider either the wave equation with internal damping : u_tt+gamma(x)u_t=laplacian u+f(x,u) ; or the wave equation with boundary damping : u_tt=laplacian u+f(x,u) and du/dn+g(x)u_t=0 on the boundary b of the domain. The main results concern the stability of the dynamics of these equations and the convergence of the dynamics of the wave equation with internal damping to the ones of the equation with boundary damping, when gamma(x) goes to g(x)dirac(x in b). In dimension one, we prove the genericity of the morse-smale property with respect to f(x,u). In particular, these results show the relevance of the model of the wave equation with boundary damping.