Principe conditionnel de Gibbs pour des contraintes fines approchées et inégalités de transport

Gibbs conditioning principle under approximated thin constraints and transportation cost inequalities

• Auteur / Autrice : Nathaël Gozlan
• Direction : Patrick Cattiaux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Paris 10

Mots clés

Mots clés contrôlés

Orlicz, Espaces d'

Gibbs, Mesures de

Grandes déviations

Résumé

Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons au comportement asymptotique de la loi de certaines mesures aléatoires satisfaisant un principe de grandes déviations, conditionnellement au fait qu'un événement rare s'est produit. Nous nous plaçons dans le cas où l'événement considéré est de probabilité nulle. Notre stratégie consiste à approcher progressivement cet événement par une suite d'événements plus épais. Cette approche conduit à une formulation en limite simple de certains principes conditionnels. La seconde partie de cette thèse porte sur les inégalités de transport : on cherche à majorer un coût de transport optimal par une fonction concave de l'entropie relative. Notre objectif est de mettre en évidence les liens existant entre ce sujet et la théorie des Grandes Déviations. Nous démontrons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une probabilité donnée vérifie une inégalité de transport d'un type assez général.

In the first part of this thesis, we study the asymptotic behaviour of random measures, satisfying a large deviations principle, knowing that a rare event has occurred. Our aim is to study the case where the set defining the conditioning event is of probability zero. Our strategy is to progressively approximate this thin set by a sequence of larger sets. This approach enables us to give a simple limit formulation of different conditional principles. The second part deals with transportation cost inequalities: one wants to majorize an optimal transportation cost by a concave function of relative entropy. Our goal is to put in light the links between these inequalities and Large Deviations theory. We establish necessary and sufficient conditions for a large class of transportation inequalities.