Détection de la convergence de processus de Markov

• Auteur / Autrice : Béatrice Lachaud
• Direction : Bernard Ycart
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Paris 5

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorème de la limite centrale

Probabilités

Probabilités invariantes

Convergence (mathématiques)

Markov, Processus de

Résumé

Notre travail porte sur le phénomène de cutoff pour des n-échantillons de processus de Markov, dans le but de l'appliquer la détection de la convergence d'algorithmes parallélisés. Dans un premier temps, le processus échantillonné est un processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Nous mettons en évidence le phénomène de cutoff pour le n-échantillon, puis nous faisons le lien avec la convergence en loi du temps d'atteinte par le processus moyen d'un niveau fixé. Dans un second temps, nous traitons le cas général où le processus échantillonné converge à vitesse exponentielle vers sa loi stationnaire. Nous donnons des estimations précises des distances entre la loi du n-échantillon et sa loi stationnaire. Enfin, nous expliquons comment aborder les problèmes de temps d'atteinte liés au phénomène du cutoff.

Our work deals with the cutoff phenomenon for n-samples of Markov processes, in order to apply it to the detection of convergence of parallelized algorithms. In a first part, the sampled process is an Ornstein-Uhlenbeck process. We point out the cutoff phenomenon for the n-sample, and we link it with the convergence in distribution of the hitting time of a fixed level by the average process. In a second part, the general case is studied, in which the sampled process is supposed to converge at exponential rate to its stationary distribution. Precise estimates are given for the distances between the distribution of the n-sample and its stationary distribution. Finally, we explain the way of dealing with some hitting time problems linked to the cutoff phenomenon.