Le calcul hérémitique : une analyse des signaux à l'aide des fonctions d'Hermite

Heremitic calculus

• Auteur / Autrice : Jean-Gabriel Ramspracher
• Direction : André Cerezo, François Rouvière, Bernard Candelpergher
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs différentiels

Distributions, Théorie des (analyse fonctionnelle)

Hermite, Polynômes d'

Résumé

Les fonctions d’Hermite en tant que base hilbertienne permettent l’analyse des fonctions de carré intégrable, nous étendons cette analyse à certaines distributions (dont les distributions tempérées) et à certaines fonctionnelles analytiques. Nous construisons des espaces de fonctions analytiques caractérisées par la décroissance (polynomiale ou exponentielle) de leurs coefficients d’Hermite. Puis en considérant leur espace dual et enfin la limite inductive de ces espaces duaux nous obtenons ce qui semble être l’extension maximale des objets développables en série d’Hemite. Dans ce cadre général, nous étudions certains opérateurs linéaires en les associant à leur matrice (de dimension infinie) dans la base d’Hermite, et nous précisons notre étude sur les opérateurs différentiels linéaires à coefficients polynomiaux (un programme en Maple permet de calculer des approximations des éléments du noyau de tels opérateurs), ainsi que sur un groupe de transformations unitaires (Fourier fractionnaire). Dans ce cadre général, nous étudions certains opérateurs en les associant à leur matrice (de dimension infinie) dans la base d’Hermite, et nous précisons notre étude sur les opérateurs différentiels linéaires à coefficients polynomiaux (un programme en Maple permet de calculer des approximations des éléments du noyau de tels opérateurs), ainsi que sur un groupe de transformations unitaires (Fourier fractionnaire). En vue du traitement numérique des problèmes non linéaires nous avons calculé de plusieurs manières les coefficients des produits de fonctions d’Hermite, ce qui nous a permis de préciser leur comportement asymptotique.