Sur le calcul effectif de la topologie de courbes et surfaces implicites

On the effective computation of the topology of implicit curves and surfaces

• Auteur / Autrice : Jean-Pierre Técourt
• Direction : Bernard Mourrain
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Singularités (mathématiques)

Isotopies (topologie)

Surfaces algébriques

Grilles (analyse numérique)

Résumé

Dans cette thèse nous nous sommes intéressés au problème du calcul effectif de la topologie de courbes et surfaces implicites. On peut distinguer quatres travaux différents: Dans une première partie, on présente un algorithme permettant de calculer la topologie d'une courbe de R3 définie comme intersection de deux surfaces algébriques. C'est à dire le calcul d'un graphe de points isotope à la courbe de départ. Puis on détaille un algorithme de calcul d'un arrangement de quadriques par balayage, basé sur une décomposition en ``trapézoides'' du plan de balayage. La troisième partie est consacré à un algorithme de triangulation de surfaces algébriques. Cet algorithme basé sur le calcul d'une stratification de Whitney de la surface est le premier fournissant un maillage isotopique à la surface de départ y compris dans le cas de surfaces singulières. Enfin, on étudie une famille de surfaces paramétrées, les surfaces de Steiner, apportant des réponses aux problèmes de classification effective, implicitisation et calcul d'antécénts.

In this thesis, we got interested into the effective computation of the topology of implicit curves and surfaces. One can distinguish four different works: In a first part, we present an algorithm for computing the topology of a curve of R3 defined as the intersection of two implicit surfaces. More precisely, we compute a graph of points isotopic to the original curve. Then we detail a sweeping algorithm to compute an arrangement of quadrics based on a ``trapezoidal'' decomposition of the sweeping plane. The third part is devoted to an algorithm of triangulation of algebraic surfaces. This algorithm based on the computation of a Whitney stratification of the surface is the first one providing an isotopic meshing of the original surface even for singular surfaces. Finally, we study a family of parametrized surfaces, the Steiner surfaces, providing answers to the problems of effective classification, implicitization and search of preimages.