Problèmes spectraux inverses pour des opérateurs AKNS et de Schrödinger singuliers sur [0,1]

• Auteur / Autrice : Frédéric Serier
• Direction : Benoît Grébert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Nantes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences et technologies de l'information et des matériaux (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie spectrale (mathématiques)

Opérateur de Schrödinger

Résumé

Les problèmes considérés dans cette thèse sont associés à deux opérateurs: l'opérateur de Schrödinger radial ou opérateur de Schrödinger singulier, issu de la mécanique quantique non relativiste; puis le système AKNS singulier, adaptation de l'opérateur de Dirac radial provenant de la mécanique quantique relativiste. Le travail effectué se découpe en deux parties. La première consiste en la résolution du problème direct associé à chacun des deux opérateurs. Nous déterminons les solutions de chaque équation et leurs propriétés notamment par rapport aux potentiels. Puis nous déterminons les éléments propres, à savoir valeurs et vecteurs propres, ainsi que leur dépendance vis à vis des potentiels. Les limitations dues à la singularité explicite dans les équations sont mises en avant, notamment lors de l'obtention d'estimations asymptotiques avec les difficultés induites par la présence de fonctions de type Bessel sphériques. La seconde partie porte sur la résolution de ces problèmes spectraux inverses. Dans un premier temps, nous introduisons les opérateurs dits de transformations nous permettant d'éliminer les difficultés induites par la singularité. Ces opérateurs nous permettent de développer une théorie spectrale inverse pour les opérateurs singuliers considérés. Précisément, nous construisons une application spectrale déterminée par la première partie, et nous montrons qu'elle forme un système de coordonnées pour les potentiels, bien adapté à l'étude de la stabilité du problème inverse ainsi qu'à l'étude des ensembles isospectraux. Un résultat d'injectivité est aussi obtenu pour les opérateurs AKNS et de Dirac singuliers avec potentiels réguliers.

Problems studied in this thesis are based on two operators: the radial or singular Schrödinger operator, extracted from the non-relativistic quantum mechanic, and the singular AKNS system, adaptation of the radial Dirac equation coming from relativistic quantum mechanic. Our report is divided in two main parts. In the first one, direct spectral problem for each equation is solved. Solutions and their properties especially concerning potentials are given. Then, we obtain eigenvalues, eigenfunctions and again their properties about potentials. Limitations caused by the explicit singularity are pointed out: problems risen by Bessel functions appear inside straightforward calculations for asymptotics and estimations. The second part deals with the resolution of these inverse spectral problems. First, transformation operators are constructed to avoid difficulties created by the singularity. These operators help us to obtain an inverse spectral theory for the singular operators considered. Precisely, with the results of the first part, the spectral map is constructed in order to be a coordinate system for potentials. This map turns out to be adapted for the inverse spectral problem's stability and isospectral sets study. Moreover, a one-to-one result is deduced for singular AKNS and Dirac operators with more regular potentials.