Coeur de l'invariant de Casson et cobordismes d'homologie

• Auteur / Autrice : Kristell Dequidt Picot
• Direction : Christian Blanchet, Sylvain Gervais
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Topologie de basse dimension
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Nantes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences et technologies de l'information et des matériaux (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lien, Théorie du

Intersections, Théorie des

Cobordisme

Invariants

Résumé

L'invariant de Casson est un invariant classique des 3-sphères d'homologie entière. Via les scindements de Heegaard, S. Morita le décrit comme la somme de deux homomorphismes d et q définis sur un sous-groupe Kg,1 du groupe de difféotopies Mg,1. L'homomorphisme d constitue le " Coeur de l'invariant de Casson " et est décrit géométriquement en termes de SU-parallélisations de Morita des mapping tores. A l'origine, d provient d'une application dX définie Mg,1 sur comme la différence entre le cocycle de Meyer et un cocycle d'intersection dépendant d'un champ de vecteurs X sur la surface Σg,1. Tout d'abord, nous revisiterons les résultats de Morita et rendrons l'application dX calculatoire. Puis nous considèrerons les cobordismes d'homologie et leur groupe associé Hg,1: via les mapping cylindres, Mg,1 constitue un sous-groupe de Hg,1. Dans la perspective de prolonger d,nous étendrons les cocycles d'intersection et cocycle de Meyer aux cobordismes d'homologie munis de structure d'Euler.

The Casson invariant is a classical invariant of integral homology 3-spheres. S. Morita described it as a sum of two homomorphisms d and q defined on a subgroup Kg,1 of the mapping class group Mg,1. The homomorphism d can be viewed as the core of the Casson invariant and is described geometrically in terms of SU-framings on mapping torii. At the beginning, d comes from an application dX defined on Mg,1 as the difference between the Meyer cocycle and an intersection cocycle which depends on a non singular vector field X on the surface Σg,1. First, we revisit the Morita results and make some computation for dX. Then, we consider the homology cobordisms and their associated group Hg,1 : via the mapping cylinders, Mg,1 is a subgroup of Hg,1. In prospect of extending d, we will extend the intersection cocycles and Meyer cocycle to homology cobordisms equipped with relative Euler structure.