Conjugaison et cyclage dans les groupes de Garside, applications cryptographiques

Conjugacy and cycling in Garside groups, cryptographic applications

• Auteur / Autrice : Samuel Maffre
• Direction : Thierry Berger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs applications
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Limoges
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des tresses

Cryptographie à clé publique

Mots clés libres

Problème de conjugaison

Problème des cyclages

Groupes de Garside

Générateur aléatoire de tresses

Résumé

Ce travail s'inscrit dans la thématique de la cryptographie basée sur les tresses. Nous nous intéressons au problème de conjugaison et au problème des cyclages présentés par K. H. Ko, S. J. Lee et al. à CRYPTO 2000 (LNCS 1880) dans New public-key cryptosystem using braid groups. D'une part, nous montrons que l'inversion de la fonction cyclage admet une solution polynomiale dans les groupes de Garside, qui sont une généralisation des groupes de tresses ; ceci permet de résoudre efficacement le problème des cyclages. D'autre part, le travail réalisé sur le problème de conjugaison et ses variantes met en relief le rôle joué par les générateurs aléatoires de tresses. Nous proposons un algorithme qui donne une factorisation du secret sous la forme d'un diviseur et d'un multiple. Ceci permet de définir deux nouvelles instances dont les secrets sont de taille réduite. De plus, nous exploitons la double structure de Garside des groupes de tresses afin d'améliorer l'efficacité de cette réduction. Nous observons que le choix du générateur aléatoire influe grandement sur la sécurité d'une instance et donnons plusieurs éléments constructifs et encourageants pour de futures recherches dans la conception d'un bon générateur aléatoire de tresses

. This work deals with braid based cryptography. We study the conjugacy search problem and the cycling problem presented by K. H. Ko, S. J. Lee and al. At CRYPTO 2000 (LNCS 1880) in New public-key cryptosystem using braid groups. On the one hand, we give a polynomial time algorithm to inverse the cycling function in Garside group which are a generalization of braid groups ; that allows to solve practically the cycling problem. On the other hand, our work on the conjugacy search problem and its variants emphasizes the choice of random generator of braids in protocols. We give an algorithm that factorizes the secret into a divisor and a multiple. That allows to define two new conjugacy instances with shorter secrets. Moreover, we exploit the fact that a braid group has two distinct Garside structures to improve the efficiency of the reduction. We observe that the choice of random generators influences greatly the security of an instance and we give several constructive and encouraging elements for further research in the design of good random generator of braids