Les champs aléatoires à longue mémoire

Long Memory Random Fields

• Auteur / Autrice : Frédéric Lavancier
• Direction : Marie-Claude Viano
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Lille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stationnaires

Dépendance (statistique)

Formes quadratiques

Sommes partielles (séries)

Champs aléatoires

Mots clés libres

Processus à longue mémoire

Représentation spectrale

Processus empiriques

Processus spatiaux

Résumé

Nous étudions des champs aléatoires sur le réseau Z^d. Ils sont supposés stationnaires, du second ordre et à longue mémoire, propriété due à la non sommabilité de leur fonction de covariance. Contrairement aux travaux antérieurs, leur longue mémoire peut être non isotrope. Lorsque ces champs sont linéaires, nous obtenons la convergence fonctionnelle de leurs sommes partielles. À partir de ce résultat, nous proposons une procédure pour tester la faible dépendance contre la forte dépendance d'un champ. Nous montrons par ailleurs la dégénérescence asymptotique du processus empirique de champs à longue mémoire ; les applications concernent notamment la convergence des U-statistiques. Nous étudions enfin certaines formes quadratiques de champs à longue mémoire. Cela nous permet d'obtenir en application la loi limite des covariances empiriques et constitue une première étape dans l'étude de l'estimateur de Whittle des paramètres de longue mémoire d'un champ.