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Thèse soutenue

Plongement entre variétés lisses à homotopie rationnelle près

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Auteur / Autrice : Christophe Boilley
Direction : Pascal Lambrechts, Daniel Tanré
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques pures
Date : Soutenance en 2005
Etablissement(s) : Lille 1 en cotutelle avec Université catholique de Louvain (1970-....)

Résumé

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Dans quelles conditions une application entre variétés différentiables est-elle homotope à un plongement lisse? L'objet de la thèse est de compléter les obstructions rationnelles déjà connues, de façon à réduire le problème initial de topologie différentiable à un problème de calcul algébrique. Le théorème principal de la thèse permet de construire un plongement entre variétés lisses dans une classe d'homotopie rationnelle d'une application donnée, lorsque le problème algébrique a une solution. Plusieurs cas génériques de réalisabilité sont présentés. Une conséquence remarquable de ce théorème conforte la conjecture de Gitler sur le rang minimal de plongement dans une sphère. De nouvelles obstructions sont également détaillées, impliquant le caractère elliptique de la variété but ou des opérations cohomologiques d'ordre supérieur. Enfin, un chapitre est consacré à la chirurgie plongée dans le rang métastable. Il permet de démontrer que, sous certaines hypothèses de connexité et de codimension, une application est rationnellement homologue à un plongement dans une variété fixée, si et seulement si une condition cohomologique simple est satisfaite.