Analyse multifractale pratique : coefficients dominants et ordres critiques : Applications à la turbulence pleinement développée : Effets de nombre de Reynolds fini

Practical multifractal analysis: wavelet leaders and critical orders. Applications to fully developped turbulence. Finite Reynolds number effects

• Auteur / Autrice : Bruno Lashermes
• Direction : Patrice Abry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure (sciences)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Turbulence

Lois d'échelle (physique)

Multifractales

Mots clés libres

Formalisme multifractal

Résumé

La description multifractale des signaux a été initiée au cours des vingt dernières années, notamment dans le domaine de la turbulence pleinement développée. Les propriétés de régularité ponctuelle des signaux étudiés sont caractérisées à l'aide d'un spectre de singularités. L'analyse multifractale de ces signaux consiste à mesurer ce spectre de singularités, à l'aide de formalismes multifractals. L'apparition des transformées en ondelette, à la même époque, a permis d'affiner la pratique de l'analyse multifractale, sans pour autant toujours reposer sur des bases mathématiques solides. S. Jaffard a récemment introduit les coefficients dominants, qui permettent de construire un formalisme multifractal mathématiquement bien fondé, et au cadre d'application large : il rend possible la mesure de l'ensemble du spectre de singularités, et reste valide lorsque les signaux analysés contiennent des singularités oscillantes. Ce nouvel outil est pour la première fois mis en oeuvre, numériquement caractérisé et appliqué à des signaux de vitesse turbulente. La question du bon usage pratique des formalismes multifractals, qui reposent sur la mesure d'exposants de fonctions de structure, est essentielle. Le travail présenté se propose d'y apporter des éléments de réponse. Une étude numérique, sur un large panel de processus multifractals synthétiques, a permis d'illustrer et de caractériser un aspect essentiel de l'analyse multifractale pratique, l'existence d'un ordre critique. Un estimateur de cet ordre critique est construit et numériquement caractérisé. Une relecture des résultats obtenus en turbulence est alors effectuée. Enfin, la question de l'universalité des exposants des fonctions de structure en turbulence pleinement développée est abordée. Une modélisation de l'exposant de la fonction de structure d'ordre trois est proposée et comparée à des résultats expérimentaux, mettant en évidence le caractère non universel de sa valeur.

Multifractal description of signals has been developed during the last 20 years, mainly in the fully developed turbulence. Pointwise regularity properties are characterized by the singularity spectrum. Multifractal analysis consists in the singularity spectrum measurement using multifractal formalisms. Simultaneous introduction of wavelet transforms allowed finer practical multifractal analysis, sometimes without receiving well-founded mathematical basis. S. Jaffard recently introduced the wavelet leaders yielding a mathematical well-founded multifractal formalism, that allows the measurement of the whole singularity spectrum and remains valid when performing the analysis of signals with oscillating singularities. This new tool is for the first time implemented, numerically characterized and applied to turbulent velocity data. On the other hand this work rises the important issue of the practical use of multifractal formalisms, that reduce in fine in structure function scaling exponent measurement. Extensive numerical study using reference synthetical multifractal processes illustrates and characterizes the existence of a critical order. An estimator of the critical order is built and numerically characterized. Previous results in turbulence then receive rereading. Finally, the universality of structure function scaling exponents in fully developed turbulence is tackled. Third order structure function scaling exponent modelling is proposed and compared to experimental results, emphasizing its non-universal value.