Thèse soutenue

Analyse de la convergence des méthodes GMRES et Arnoldi : cas standard, global, bloc
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Auteur / Autrice : R'kia Bouyouli
Direction : Rachid SadakaHassane Sadok
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques. Analyse numérique et optimisation
Date : Soutenance en 2005
Etablissement(s) : Littoral en cotutelle avec Université Mohammed V (Rabat). Faculté des sciences

Résumé

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Dans cette thèse, nous analysons la convergence de certaines méthodes de Krylov. Nous nous sommes attachés tout particulièrement aux méthodes GMRES et d'Arnoldi pour le cas non-symétrique. Dans le cas symétrique, on trouve la méthode du Gradient Conjugué. Ces méthodes requièrent souvent l'emploi des conditions de Petrov-Galerkin. Pour orienter nos recherches, nous avons privilégier deux critères dans la mise en oeuvre de l'analyse de la convergence de ces méthodes : l'utilisation des conditions de Petrov-Galerkin ; le processus de Gram Schmidt. D'abord, on s'est intéressé à l'analyse de la convergence de la méthode du Gradient Conjugué. En utilisant les conditions de Petrov-Galerkin, nous avons donné de nouvelles expressions de la norme du résidu et de la norme de l'erreur. Nous avons constaté que la convergence de cette méthode dépend des valeurs propres de deux matrices tridiagonales. Concernant la recherche d'une borne supérieure optimale de la norme du résidu du GMRES dans le cas normal, nous sommes amenés à résoudre un problème de minimisation sous contraintes. Numériquement, nous avons constaté que, à l'itération k, la borne supérieure optimale du GMRES dépend de k+1 valeurs propres. Nous avons également concentré nos recherches sur les méthodes de Krylov au cas global et au cas par blocs. Afin d'analyser la convergence de ces méthodes, nous avons défini un nouveau produit matriciel. En utilisant ce nouveau produit et le complément de Schur, nous avons donné de nouvelles expressions du résidu et une extension de la factorisation QR au sens global.