Combinatorial methods in Garside and Artin groups

par Nuno Franco

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Luis Paris et de Alain Jacquemard.

Soutenue en 2005

à Dijon .

mots clés

• Algèbres artiniennes
• Groupes, Théorie des
• Tresses, Théorie des

Titre traduit

Méthodes combinatoires dans les groupes de Garside et d'Artin

Résumé

L'objet principal de cette thèse est l'étude de certains problèmes combinatoires en théorie des groupes. Etant donné un groupe défini par générateurs et relations, il y a plusieurs problèmes combinatoires qui nous intéressent , par exemple : le problème du mot, le problème de conjugaison, le problème de l'appartenance, et le problème qui consiste à trouver un ensemble de générateurs pour le centralisateur d'un élément donné. Notre étude est centrée sur le problème de conjugaison et sur le problème qui consiste à trouver un ensemble de générateurs pour le centralisateur d'un élément donné. On présente une solution au problème de conjugaison pour les groupes de Garside, et aussi un algorithme qui calcule un ensemble de générateurs pour le centralisateur d'un élément donné dans un groupe de Garside. Soit G un groupe muni d'une solution au problème de conjugaison et d'un algorithme qui calcule un ensemble de générateurs pour le centralisateur de tout élément de G. On donne des conditions sur un sous-groupe H de G sous lesquelles on présente une solution au problème de conjugaison dans H. Soit A un groupe d'Artin du type sphérique, non nécessairement irréductible, et on note CA le groupe d'Artin coloré associé. On montre que CA est un sous-groupe caractéristique de A.

Résumé

The main purpose of this thesis is the study of combinatorial problems in group theory. Given a group defined by generators and relations, there are several combinatorial problems that we can state , such as the word problem, the conjugacy problem , the membership problem , and the problem of finding generating sets of centralizers. We present a solution to the conjugacy problem for Garside groups as well as an algorithm which computes a generating set for centralizers in Garside groups. Let G be a group endowed with a solution to the conjugacy problem and with an algorithm which computes a generating set of the centralizer of any element in G. We give conditions to a subgroup H of G under which we give a solution to the conjugacy problem in H. Let A be a spherical type Artin group, which is not necessarily irreductible, and let CA denote its associated coloured Artin group. We prove that CA is a characteristic subgroup.