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Thèse Année : 2005

Le Développement en Série de Peano du Matricant Pour l'Etude de la Propagation des Ondes Elastiques en Milieux à Propriétés Continûment Variables

Cécile Baron

Résumé

Modelling elastic media with material properties continuously varying in the lateral direction, has a long historical record in geophysics. The mantle crust, the oceans and the atmosphere are media with natural heterogeneity. Moreover, the continuous variation of the elastic properties often occurs in industrial materials. Characterization of such materials is of great importance.
The classical scheme to solve the wave equation in media with one-dimensional heterogeneity relies on a multilayered model. The properties are piecewise constant functions for both naturally media and the discretization model of continuously varying media. This approach is known as Thomson-Haskell method. For continuously heterogeneous media, this method, via discretization, deals with an approximate problem, thus raising some questions about the accuracy and the validity of the obtained solutions.
In this work, the point is to tackle the problem of wave propagation in heterogeneous media in a different way. To keep the authenticity of the problem, we employ the method based on Peano series expansion of the matricant. For an arbitrary heterogeneity profile, the Peano series expansion of the wave equation written as a first-order ordinary differential system with variable coefficients. The analytical and numerical treatment of the Peano series of the matricant provides a robust method for analysing acoustic phenomena in plates and waveguides. It is hoped to be useful in variousareas dealing with ultrasonic characterization of heterogeneous media.
Les milieux à propriétés continûment variables selon une direction particulière de l'espace intéressent les géophysiciens depuis plus de cinquante ans. La croûte terrestre, les océans, l'atmosphère sont des milieux naturels continûment hétérogènes. Mais on rencontre également ce type de configuration, variation continue des propriétés caractéristiques de matériaux, pour de nombreux produits industriels. Le contrôle et l'évaluation de ces matériaux représentent donc un enjeu important.
Le schéma classique de résolution des équations d'ondes en milieux à hétérogénéité unidirectionnelle repose sur un modèle multicouche, la stratification du milieu étudié pouvant être naturelle, les propriétés sont des fonctions constantes par morceaux, ou artificielle, les propriétés sont des fonctions continues que l'on discrétise. Cette approche est alors connue sous le nom de méthode de Thomson-Haskell. Dans le cas des milieux continûment variables, on calcule une solution exacte à un problème approché ce qui suscite de nombreuses interrogations quant à la précision et à la validité des solutions obtenues.
Dans ce travail, le problème est abordé sous un angle différent offrant ainsi de nouvelles perspectives d'approche des milieux hétérogènes. Afin de conserver l'authenticité du problème, nous proposons d'utiliser une méthode basée sur le développement en série de Peano du matricant, forme explicite de la solution analytique exacte des équations d'onde mises sous la forme d'un système différentiel ordinaire du premier ordre à coefficients non constants, pour des profils quelconques de propriétés. Les développements asymptotiques et numériques de cette écriture appliquée à des problèmes de conditions aux limites ont fourni une méthode robuste pour l'analyse des phénomènes acoustiques (courbes de dispersion, spectre fréquentiel du coefficient de réflexion etc.). Des résultats prometteurs quant à la détection du caractère hétérogène et à la quantification de certains paramètres caractéristiques de l'hétérogénéité ont été obtenus.
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Dates et versions

tel-00113951 , version 1 (15-11-2006)

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  • HAL Id : tel-00113951 , version 1

Citer

Cécile Baron. Le Développement en Série de Peano du Matricant Pour l'Etude de la Propagation des Ondes Elastiques en Milieux à Propriétés Continûment Variables. Acoustique [physics.class-ph]. Université Sciences et Technologies - Bordeaux I, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00113951⟩

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